Fonctions affines et variations — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 7 points à retenir et 1 méthode. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Fonction affine, linéaire et constante
Définitions
- Une fonction affine est de la forme f(x) = mx + p.
- m est le coefficient directeur, la pente ou le taux d'accroissement.
- p est l'ordonnée à l'origine : f(0) = p.
- Si p = 0, f(x) = mx est linéaire.
- Si m = 0, f(x) = p est constante.
Représentation
La courbe d'une fonction affine est une droite. Réciproquement, toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées représente une fonction affine.
2. Interpréter les coefficients
Taux d'accroissement
Pour tous réels distincts x1 et x2 :
m = [f(x2) − f(x1)]/(x2 − x1).
Autrement dit, quand x augmente de Δx, f(x) varie de mΔx.
4. Sens de variation
Théorème
Pour f(x) = mx + p :
- si m > 0, f est strictement croissante sur ℝ ;
- si m < 0, f est strictement décroissante sur ℝ ;
- si m = 0, f est constante.
Démonstration exigible
Soient x1 < x2. Alors x2 − x1 > 0 et f(x2) − f(x1) = m(x2 − x1). Si m > 0, cette différence est positive : f(x2) > f(x1), donc f est croissante. Si m < 0, la différence est négative : f est décroissante.
5. Zéro et signe
Signe d'une fonction affine non constante
Le zéro de f(x) = mx + p est x0 = −pm.
- Si m > 0 : f(x) < 0 pour x < x0, puis f(x) > 0 pour x > x0.
- Si m < 0 : f(x) > 0 pour x < x0, puis f(x) < 0 pour x > x0.
6. Comparer deux fonctions affines
Erreurs fréquentes
- Calculer la pente avec des ordres différents au numérateur et au dénominateur.
- Confondre m et p : p se lit à x = 0, m mesure une variation.
- Dire qu'une pente négative signifie que la fonction est négative ; elle signifie que la fonction décroît.
- Attribuer une équation réduite y = mx + p à une droite verticale.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Méthode avec deux points
Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points distincts de la droite, avec xA ≠ xB :
- calculer m = yB − yAxB − xA ;
- utiliser yA = mxA + p pour trouver p ;
- vérifier avec le second point.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés