Exercices corrigés — Équations, inéquations et tableaux de signes (Seconde)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Maîtrise ». Voir les 8 exercices.

Exercice 5 Maîtrise

Résoudre dans ℝ l'équation 3x − 4x + 2 = 2.

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Correction détaillée

condition d'existence : le dénominateur ne doit pas être nul, x + 2 ≠ 0, soit x ≠ −2. On résout sur ℝ privé de −2.
Pour x ≠ −2, on multiplie les deux membres par x + 2, non nul, ce qui conserve l'équivalence : 3x − 4 = 2(x + 2), soit 3x − 4 = 2x + 4.
Alors 3x − 2x = 4 + 4, donc x = 8. Cette valeur n'est pas la valeur interdite : elle est acceptable.
S = {8}. Vérification : 3 × 8 − 48 + 2 = 2010 = 2. Si le calcul avait conduit à x = −2, il aurait fallu écarter cette valeur et conclure à l'absence de solution.

Exercice 6 Maîtrise

Résoudre dans ℝ l'inéquation (2x − 6)(x + 1) ≥ 0.

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Correction détaillée

le membre de gauche est déjà un produit de deux facteurs affines : on dresse un tableau de signes.
2x − 6 s'annule pour x = 3 ; son coefficient 2 est positif, donc il est négatif avant 3 et positif après. x + 1 s'annule pour x = −1 ; coefficient 1 positif, donc négatif avant −1 et positif après.

x	−∞		−1		3		+∞
2x − 6		−	−	−	0	+
x + 1		−	0	+	+	+
produit		+	0	−	0	+

Le produit est positif ou nul sur ]−∞ ; −1] et sur [3 ; +∞[, les racines étant incluses car l'inégalité est large. S = ]−∞ ; −1] ∪ [3 ; +∞[. Vérification avec x = 0 : (−6)(1) = −6 < 0, et 0 n'est pas solution ; avec x = 4 : (2)(5) = 10 ≥ 0.

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