Équations, inéquations et tableaux de signes — cours de Seconde
Équations et équivalences, Équations produit nul et x2 = a, Équations quotient, Modéliser par une équation Lecture ≈ 4 min.
1. Équations et équivalences
Résoudre une équation, c'est déterminer toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. Deux équations sont équivalentes lorsqu'elles ont le même ensemble de solutions.
On conserve l'équivalence en ajoutant ou retranchant un même nombre aux deux membres, ou en multipliant/divisant les deux membres par un même nombre non nul.
- Développer et réduire si nécessaire.
- Regrouper les termes en x d'un côté, les constantes de l'autre.
- Diviser par le coefficient de x s'il est non nul.
- Vérifier dans l'équation initiale.
Résoudre 3(2x − 5) = 4x + 7.
6x − 15 = 4x + 7
2x − 15 = 7 (on retranche 4x)
2x = 22 (on ajoute 15)
x = 11. Vérification : 3(22 − 5) = 51 et 44 + 7 = 51.
L'ensemble des solutions est S = {11}.
2. Équations produit nul et x2 = a
Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
A(x)B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 ou B(x) = 0.
Résoudre (3x − 2)(x + 5) = 0 :
3x − 2 = 0, donc x = 23 ; ou x + 5 = 0, donc x = −5.
S = {−5 ; 23}.
- si a < 0 : aucune solution réelle ;
- si a = 0 : une solution, x = 0 ;
- si a > 0 : deux solutions, x = −√a ou x = √a.
3. Équations quotient
- Écrire les valeurs interdites.
- Sur le domaine autorisé, éliminer les dénominateurs en multipliant par un produit non nul.
- Résoudre l'équation obtenue.
- Écarter toute valeur interdite.
Résoudre 2x + 1x − 3 = 4.
Condition : x ≠ 3. Pour x ≠ 3 :
2x + 1 = 4(x − 3)
2x + 1 = 4x − 12
13 = 2x, donc x = 132. Cette valeur est autorisée. S = {132}.
4. Modéliser par une équation
- Choisir l'inconnue et préciser son unité.
- Traduire chaque grandeur en fonction de cette inconnue.
- Écrire l'égalité qui traduit le problème.
- Résoudre, contrôler les contraintes du contexte et conclure par une phrase.
Un rectangle a un périmètre de 46 cm. Sa longueur dépasse sa largeur de 5 cm. Trouver ses dimensions.
Notons x la largeur en cm ; x > 0. La longueur vaut x + 5. Le périmètre donne 2x + 2(x + 5) = 46.
4x + 10 = 46, donc 4x = 36 et x = 9. La largeur vaut 9 cm et la longueur 14 cm. Contrôle : 2(9 + 14) = 46.
5. Règles sur les inégalités
- On peut additionner un même réel aux deux membres sans changer le sens.
- Multiplier ou diviser par un réel strictement positif conserve le sens.
- Multiplier ou diviser par un réel strictement négatif inverse le sens.
- On peut additionner membre à membre deux inégalités de même sens.
Résoudre −3x + 7 ≤ 19.
−3x ≤ 12. En divisant par −3, on inverse le signe : x ≥ −4.
S = [−4 ; +∞[.
6. Signe d'une expression affine
Pour f(x) = ax + b avec a ≠ 0, la racine est x0 = −ba.
- Si a > 0, ax + b est négatif avant x0, nul en x0, positif après.
- Si a < 0, les signes sont inversés.
Pour 2x − 6, la racine est 3 et le coefficient 2 est positif.
| x | ]−∞ ; 3[ | 3 | ]3 ; +∞[ |
|---|---|---|---|
| 2x − 6 | − | 0 | + |
7. Signe d'un produit ou d'un quotient
Un produit ou quotient de deux facteurs de même signe est positif ; de signes contraires, il est négatif. Un quotient n'est jamais défini lorsque son dénominateur est nul.
- Factoriser l'expression.
- Déterminer les zéros de chaque facteur et les valeurs interdites.
- Les ranger sur une ligne.
- Écrire le signe de chaque facteur sur chaque intervalle.
- Appliquer la règle des signes, puis lire l'ensemble demandé.
Étudier le signe de F(x) = (x − 2)(3x + 6).
Les facteurs s'annulent en 2 et −2. Comme 3x + 6 = 3(x + 2), le facteur 3 ne change pas le signe.
| x | ]−∞ ; −2[ | −2 | ]−2 ; 2[ | 2 | ]2 ; +∞[ |
|---|---|---|---|---|---|
| x − 2 | − | − | − | 0 | + |
| 3(x + 2) | − | 0 | + | + | + |
| F(x) | + | 0 | − | 0 | + |
Ainsi F(x) ≤ 0 pour x ∈ [−2 ; 2].
Résoudre x − 1x + 3 > 0.
La valeur −3 est interdite et 1 annule le numérateur. Le quotient est positif lorsque numérateur et dénominateur ont même signe : sur ]−∞ ; −3[ et ]1 ; +∞[. Le point 1 est exclu car l'inégalité est stricte ; −3 est toujours exclu.
8. Modéliser par une inéquation
Une salle facture 180 € fixes et 12 € par participant. Le budget est de 600 €. Combien de participants au maximum ?
Pour n participants, avec n entier naturel : 180 + 12n ≤ 600.
12n ≤ 420, donc n ≤ 35. Il peut y avoir au maximum 35 participants. La contrainte « n entier » est essentielle.
- Diviser une inégalité par un nombre négatif sans inverser son sens.
- Utiliser le produit nul lorsqu'un produit vaut un nombre non nul.
- Faire un produit en croix sans avoir exclu un dénominateur nul.
- Dans un tableau de signes, confondre un zéro du numérateur (valeur possible) et un zéro du dénominateur (valeur interdite).
- Oublier les contraintes du contexte : effectif entier, longueur positive, etc.