Exercices corrigés — Équations, inéquations et tableaux de signes (Seconde)

on développe chaque membre : 10x − 5 − 3x = 4x + 24, soit 7x − 5 = 4x + 24.
On regroupe les termes en x à gauche en retranchant 4x aux deux membres : 3x − 5 = 24. On regroupe les constantes à droite en ajoutant 5 : 3x = 29.
On divise par 3, non nul : x = 293. Chaque étape est une équivalence, l'ensemble des solutions n'a pas changé.
S = {293}. Vérification : 5(2 × 293 − 1) − 3 × 293 = 5 × 553 − 29 = 2753 − 873 = 1883, et 4(293 + 6) = 4 × 473 = 1883. On garde la valeur exacte 293, pas 9,67.

première équation : on factorise avec l'identité a² − b² = (a − b)(a + b) : x² − 25 = (x − 5)(x + 5). Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : x − 5 = 0 ou x + 5 = 0, soit x = 5 ou x = −5. S = {−5 ; 5}.
On peut aussi écrire x² = 25 et appliquer la règle : pour a > 0, x² = a a deux solutions, √a et −√a. Oublier −5 est l'erreur la plus fréquente.
Seconde équation : 2x² + 8 = 0 ⇔ x² = −4. Un carré est toujours positif ou nul, il ne peut pas valoir −4 : l'équation n'a aucune solution réelle, S est vide.
Interprétation graphique : la parabole y = x² coupe la droite y = 25 en deux points, mais ne descend jamais sous l'axe des abscisses.