Exercices corrigés — Équations, inéquations et tableaux de signes (Seconde)

on développe chaque membre : 10x − 5 − 3x = 4x + 24, soit 7x − 5 = 4x + 24.
On regroupe les termes en x à gauche en retranchant 4x aux deux membres : 3x − 5 = 24. On regroupe les constantes à droite en ajoutant 5 : 3x = 29.
On divise par 3, non nul : x = 293. Chaque étape est une équivalence, l'ensemble des solutions n'a pas changé.
S = {293}. Vérification : 5(2 × 293 − 1) − 3 × 293 = 5 × 553 − 29 = 2753 − 873 = 1883, et 4(293 + 6) = 4 × 473 = 1883. On garde la valeur exacte 293, pas 9,67.

première équation : on factorise avec l'identité a² − b² = (a − b)(a + b) : x² − 25 = (x − 5)(x + 5). Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : x − 5 = 0 ou x + 5 = 0, soit x = 5 ou x = −5. S = {−5 ; 5}.
On peut aussi écrire x² = 25 et appliquer la règle : pour a > 0, x² = a a deux solutions, √a et −√a. Oublier −5 est l'erreur la plus fréquente.
Seconde équation : 2x² + 8 = 0 ⇔ x² = −4. Un carré est toujours positif ou nul, il ne peut pas valoir −4 : l'équation n'a aucune solution réelle, S est vide.
Interprétation graphique : la parabole y = x² coupe la droite y = 25 en deux points, mais ne descend jamais sous l'axe des abscisses.

a) On regroupe les x à gauche et les constantes à droite : 4 − 5x − 2x > 18, puis −7x > 18 − 4, soit −7x > 14. On divise par −7, nombre strictement négatif : le sens de l'inégalité change, x < −2.
S = ]−∞ ; −2[. Vérification avec x = −3 : 4 + 15 = 19 et −6 + 18 = 12, on a bien 19 > 12 ; avec x = 0 : 4 > 18 est faux, cohérent.
b) 2x − 2 ≤ 5x + 7, donc 2x − 5x ≤ 7 + 2, soit −3x ≤ 9. En divisant par −3, le sens change : x ≥ −3.
S = [−3 ; +∞[. La borne −3 est incluse car l'inégalité est large : pour x = −3, les deux membres valent −8. Diviser par un négatif sans inverser le sens conduirait à l'ensemble complémentaire, entièrement faux.

a) Il ne faut surtout pas diviser par x, qui pourrait être nul : on ramène tout dans un membre. x(x − 3) − 2x = 0, soit x² − 3x − 2x = 0, donc x² − 5x = 0. On factorise : x(x − 5) = 0.
Produit nul : x = 0 ou x − 5 = 0, soit x = 0 ou x = 5. S = {0 ; 5}. Diviser par x aurait fait perdre la solution 0.
b) On ramène tout dans un membre : (2x + 1)² − (x − 4)² = 0, différence de deux carrés que l'on factorise avec a² − b² = (a − b)(a + b) : [(2x + 1) − (x − 4)][(2x + 1) + (x − 4)] = (x + 5)(3x − 3) = 0.
Produit nul : x + 5 = 0 ou 3x − 3 = 0, soit x = −5 ou x = 1. S = {−5 ; 1}. Vérification : pour x = 1, les deux carrés valent 9 ; pour x = −5, ils valent tous deux 81. « Prendre la racine carrée » des deux membres n'aurait donné que l'égalité 2x + 1 = x − 4 et sa solution −5 : on aurait oublié le cas 2x + 1 = −(x − 4).

condition d'existence : le dénominateur ne doit pas être nul, x + 2 ≠ 0, soit x ≠ −2. On résout sur ℝ privé de −2.
Pour x ≠ −2, on multiplie les deux membres par x + 2, non nul, ce qui conserve l'équivalence : 3x − 4 = 2(x + 2), soit 3x − 4 = 2x + 4.
Alors 3x − 2x = 4 + 4, donc x = 8. Cette valeur n'est pas la valeur interdite : elle est acceptable.
S = {8}. Vérification : 3 × 8 − 48 + 2 = 2010 = 2. Si le calcul avait conduit à x = −2, il aurait fallu écarter cette valeur et conclure à l'absence de solution.

le membre de gauche est déjà un produit de deux facteurs affines : on dresse un tableau de signes.
2x − 6 s'annule pour x = 3 ; son coefficient 2 est positif, donc il est négatif avant 3 et positif après. x + 1 s'annule pour x = −1 ; coefficient 1 positif, donc négatif avant −1 et positif après.

valeur interdite : 2 − x = 0 pour x = 2 ; le quotient n'est pas défini en 2, cette valeur sera exclue quoi qu'il arrive.
Signe du numérateur x + 1 : nul en −1, négatif avant, positif après. Signe du dénominateur 2 − x : nul en 2, coefficient −1 négatif, donc positif avant 2 et négatif après.

« A au plus aussi cher que B » se traduit par A(x) ≤ B(x), soit 25 + 0,08x ≤ 10 + 0,13x.
On regroupe : 25 − 10 ≤ 0,13x − 0,08x, soit 15 ≤ 0,05x. On divise par 0,05, strictement positif, sans changer le sens : x ≥ 150,05 = 300.
Pour une consommation d'au moins 300 unités, l'abonnement A est au plus aussi cher que B ; pour exactement 300 unités, les deux coûtent 25 + 24 = 49 € et 10 + 39 = 49 €.
Interprétation : A a un abonnement fixe plus élevé (25 € contre 10 €) mais un prix unitaire plus faible (0,08 € contre 0,13 €) ; il devient avantageux pour les gros consommateurs. Graphiquement, les deux droites se coupent au point (300 ; 49).