Seconde · Fiche de révision

Équations, inéquations et tableaux de signes — fiche résumé

L'essentiel du chapitre en une page : 8 points à retenir et 4 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.

À retenir

1. Équations et équivalences

Définition

Résoudre une équation, c'est déterminer toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. Deux équations sont équivalentes lorsqu'elles ont le même ensemble de solutions.

Transformations autorisées

On conserve l'équivalence en ajoutant ou retranchant un même nombre aux deux membres, ou en multipliant/divisant les deux membres par un même nombre non nul.

2. Équations produit nul et x2 = a

Produit nul

Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :

A(x)B(x) = 0 ⇔ A(x) = 0 ou B(x) = 0.

Propriété

Équation x² = a

si a < 0 : aucune solution réelle ;
si a = 0 : une solution, x = 0 ;
si a > 0 : deux solutions, x = −√a ou x = √a.

5. Règles sur les inégalités

Propriétés

On peut additionner un même réel aux deux membres sans changer le sens.
Multiplier ou diviser par un réel strictement positif conserve le sens.
Multiplier ou diviser par un réel strictement négatif inverse le sens.
On peut additionner membre à membre deux inégalités de même sens.

6. Signe d'une expression affine

Propriété

Pour f(x) = ax + b avec a ≠ 0, la racine est x₀ = −ba.

Si a > 0, ax + b est négatif avant x₀, nul en x₀, positif après.
Si a < 0, les signes sont inversés.

7. Signe d'un produit ou d'un quotient

Règles de signes

Un produit ou quotient de deux facteurs de même signe est positif ; de signes contraires, il est négatif. Un quotient n'est jamais défini lorsque son dénominateur est nul.

8. Modéliser par une inéquation

Erreurs fréquentes

Diviser une inégalité par un nombre négatif sans inverser son sens.
Utiliser le produit nul lorsqu'un produit vaut un nombre non nul.
Faire un produit en croix sans avoir exclu un dénominateur nul.
Dans un tableau de signes, confondre un zéro du numérateur (valeur possible) et un zéro du dénominateur (valeur interdite).
Oublier les contraintes du contexte : effectif entier, longueur positive, etc.

Les méthodes

Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.

Méthode 1Méthode : équation du premier degré

Développer et réduire si nécessaire.
Regrouper les termes en x d'un côté, les constantes de l'autre.
Diviser par le coefficient de x s'il est non nul.
Vérifier dans l'équation initiale.

Méthode 2

Écrire les valeurs interdites.
Sur le domaine autorisé, éliminer les dénominateurs en multipliant par un produit non nul.
Résoudre l'équation obtenue.
Écarter toute valeur interdite.

Méthode 3

Choisir l'inconnue et préciser son unité.
Traduire chaque grandeur en fonction de cette inconnue.
Écrire l'égalité qui traduit le problème.
Résoudre, contrôler les contraintes du contexte et conclure par une phrase.

Méthode 4Méthode : construire un tableau de signes

Factoriser l'expression.
Déterminer les zéros de chaque facteur et les valeurs interdites.
Les ranger sur une ligne.
Écrire le signe de chaque facteur sur chaque intervalle.
Appliquer la règle des signes, puis lire l'ensemble demandé.

Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés