Exercices corrigés — Équations, inéquations et tableaux de signes (Seconde)

a) On regroupe les x à gauche et les constantes à droite : 4 − 5x − 2x > 18, puis −7x > 18 − 4, soit −7x > 14. On divise par −7, nombre strictement négatif : le sens de l'inégalité change, x < −2.
S = ]−∞ ; −2[. Vérification avec x = −3 : 4 + 15 = 19 et −6 + 18 = 12, on a bien 19 > 12 ; avec x = 0 : 4 > 18 est faux, cohérent.
b) 2x − 2 ≤ 5x + 7, donc 2x − 5x ≤ 7 + 2, soit −3x ≤ 9. En divisant par −3, le sens change : x ≥ −3.
S = [−3 ; +∞[. La borne −3 est incluse car l'inégalité est large : pour x = −3, les deux membres valent −8. Diviser par un négatif sans inverser le sens conduirait à l'ensemble complémentaire, entièrement faux.

a) Il ne faut surtout pas diviser par x, qui pourrait être nul : on ramène tout dans un membre. x(x − 3) − 2x = 0, soit x² − 3x − 2x = 0, donc x² − 5x = 0. On factorise : x(x − 5) = 0.
Produit nul : x = 0 ou x − 5 = 0, soit x = 0 ou x = 5. S = {0 ; 5}. Diviser par x aurait fait perdre la solution 0.
b) On ramène tout dans un membre : (2x + 1)² − (x − 4)² = 0, différence de deux carrés que l'on factorise avec a² − b² = (a − b)(a + b) : [(2x + 1) − (x − 4)][(2x + 1) + (x − 4)] = (x + 5)(3x − 3) = 0.
Produit nul : x + 5 = 0 ou 3x − 3 = 0, soit x = −5 ou x = 1. S = {−5 ; 1}. Vérification : pour x = 1, les deux carrés valent 9 ; pour x = −5, ils valent tous deux 81. « Prendre la racine carrée » des deux membres n'aurait donné que l'égalité 2x + 1 = x − 4 et sa solution −5 : on aurait oublié le cas 2x + 1 = −(x − 4).