Exercices corrigés — Droites du plan et systèmes (Seconde)

on note c le prix d'un cahier et s celui d'un stylo, en euros. Les données se traduisent par le système : 3c + 2s = 10,5 et 2c + 5s = 12,5.
Méthode par combinaison : on élimine s en rendant ses coefficients égaux. On multiplie la première équation par 5 et la seconde par 2 : 15c + 10s = 52,5 et 4c + 10s = 25.
En soustrayant la seconde de la première : 11c = 27,5, donc c = 2,5. On remplace dans la première équation d'origine : 7,5 + 2s = 10,5, donc 2s = 3 et s = 1,5.
Un cahier coûte 2,50 € et un stylo 1,50 €. Vérification avec la seconde équation : 2 × 2,5 + 5 × 1,5 = 5 + 7,5 = 12,5. La combinaison évite les fractions que la substitution aurait fait apparaître ici.

première méthode, par les vecteurs : AB = (1 − (−2) ; 1 − 3) = (3 ; −2) et AC = (7 − (−2) ; −3 − 3) = (9 ; −6). det(AB, AC) = 3 × (−6) − (−2) × 9 = −18 + 18 = 0 : les vecteurs sont colinéaires (AC = 3AB), donc A, B et C sont alignés.
Seconde méthode, par l'équation de (AB) : la pente vaut 1 − 31 − (−2) = −23, et avec B : 1 = −(23) × 1 + p, donc p = 53. Équation : y = −(23)x + 53.
On teste C : −(23) × 7 + 53 = −143 + 53 = −93 = −3, qui est bien l'ordonnée de C. Donc C appartient à (AB).
Les deux méthodes concordent. La première est plus rapide et fonctionne même quand la droite est verticale ; la seconde a l'avantage de fournir l'équation de la droite.