Exercices corrigés — Droites du plan et systèmes (Seconde)

pour une droite d'équation ax + by + c = 0, le vecteur (−b ; a) est directeur. Ici a = 4 et b = 2, donc u(−2 ; 4) dirige d. Tout vecteur colinéaire convient aussi : (−1 ; 2) ou (1 ; −2), plus simples.
Équation réduite : on isole y, ce qui est possible car b = 2 ≠ 0. 2y = −4x + 7, donc y = −2x + 72.
La pente est m = −2 (on retrouve m = −ab = −42) et l'ordonnée à l'origine vaut 72 = 3,5 : la droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; 3,5).
Cohérence : le vecteur (1 ; m) = (1 ; −2) est directeur, comme (−1 ; 2) trouvé plus haut. Vérification d'un point : pour x = 1, y = 1,5, et 4 × 1 + 2 × 1,5 − 7 = 0.

les deux points ont la même abscisse, 3, et des ordonnées différentes : le vecteur AB = (0 ; 7) est vertical, donc la droite (AB) est parallèle à l'axe des ordonnées.
Tous ses points ont pour abscisse 3 : son équation est x = 3, ce que l'on peut écrire sous la forme cartésienne 1x + 0y − 3 = 0 (a = 1, b = 0, c = −3).
Cette droite n'a pas d'équation réduite y = mx + p : le calcul de la pente 5 − (−2)3 − 3 demanderait une division par zéro. On dit que la pente n'est pas définie.
Vérification : A et B vérifient bien x = 3. Le point (3 ; 100) est aussi sur la droite, le point (4 ; 0) ne l'est pas.

un point M(x ; y) appartient à la droite si et seulement si CM et u sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul.
CM = (x − (−1) ; y − 4) = (x + 1 ; y − 4). det(CM, u) = (x + 1) × 5 − (y − 4) × 2 = 5x + 5 − 2y + 8 = 5x − 2y + 13.
Une équation cartésienne de la droite est 5x − 2y + 13 = 0.
Vérifications : C donne 5 × (−1) − 2 × 4 + 13 = 0 ; le vecteur (−b ; a) = (2 ; 5) associé à l'équation est bien u. Le point C + u = (1 ; 9) est aussi sur la droite : 5 − 18 + 13 = 0.

a) L'équation réduite est de la forme y = −(23)x + p. Comme A est sur d : 1 = −(23) × 3 + p = −2 + p, donc p = 3. Équation : y = −(23)x + 3.
b) Avec l'axe des ordonnées (x = 0) : y = 3, point (0 ; 3), c'est l'ordonnée à l'origine. Avec l'axe des abscisses (y = 0) : −(23)x + 3 = 0 ⇔ x = 3 × 32 = 4,5, point (4,5 ; 0).
c) On place le point (0 ; 3), puis on utilise la pente : −23 signifie que lorsqu'on avance de 3 unités vers la droite, on descend de 2 unités ; on arrive au point (3 ; 1), qui est bien A. On trace la droite passant par ces deux points, et l'on contrôle qu'elle passe par (4,5 ; 0).
Un vecteur directeur est (3 ; −2), ou encore (1 ; −23) : la pente est l'ordonnée du vecteur directeur d'abscisse 1.

on met d' sous forme réduite : 6x − 2y + 9 = 0 ⇔ −2y = −6x − 9 ⇔ y = 3x + 92.
Les deux droites ont la même pente, 3 : elles sont parallèles. Autre méthode : d a pour vecteur directeur (1 ; 3) et d' a pour vecteur directeur (−b ; a) = (2 ; 6) = 2(1 ; 3), colinéaires.
Leurs ordonnées à l'origine sont différentes, −4 et 92 = 4,5 : les droites ne sont pas confondues. Elles sont strictement parallèles et n'ont aucun point commun.
Vérification : le point (0 ; −4) de d ne vérifie pas l'équation de d', car 0 + 8 + 9 = 17 ≠ 0. Si l'on avait cherché leur intersection, le système 3x − 4 = 3x + 4,5 aurait donné −4 = 4,5, impossible.

on isole l'inconnue la plus simple : dans la seconde équation, y = 3x − 7.
On remplace dans la première : x + 2(3x − 7) = 7 ⇔ x + 6x − 14 = 7 ⇔ 7x = 21 ⇔ x = 3.
On revient à y : y = 3 × 3 − 7 = 2. La solution du système est le couple (3 ; 2).
Vérification dans les deux équations : 3 + 2 × 2 = 7 et 3 × 3 − 2 = 7. Interprétation : les droites d'équations x + 2y = 7 et 3x − y = 7 sont sécantes et se coupent au point (3 ; 2). Elles ne sont pas parallèles car leurs vecteurs directeurs (−2 ; 1) et (1 ; 3) ne sont pas colinéaires (déterminant −6 − 1 = −7 ≠ 0).

on note c le prix d'un cahier et s celui d'un stylo, en euros. Les données se traduisent par le système : 3c + 2s = 10,5 et 2c + 5s = 12,5.
Méthode par combinaison : on élimine s en rendant ses coefficients égaux. On multiplie la première équation par 5 et la seconde par 2 : 15c + 10s = 52,5 et 4c + 10s = 25.
En soustrayant la seconde de la première : 11c = 27,5, donc c = 2,5. On remplace dans la première équation d'origine : 7,5 + 2s = 10,5, donc 2s = 3 et s = 1,5.
Un cahier coûte 2,50 € et un stylo 1,50 €. Vérification avec la seconde équation : 2 × 2,5 + 5 × 1,5 = 5 + 7,5 = 12,5. La combinaison évite les fractions que la substitution aurait fait apparaître ici.

première méthode, par les vecteurs : AB = (1 − (−2) ; 1 − 3) = (3 ; −2) et AC = (7 − (−2) ; −3 − 3) = (9 ; −6). det(AB, AC) = 3 × (−6) − (−2) × 9 = −18 + 18 = 0 : les vecteurs sont colinéaires (AC = 3AB), donc A, B et C sont alignés.
Seconde méthode, par l'équation de (AB) : la pente vaut 1 − 31 − (−2) = −23, et avec B : 1 = −(23) × 1 + p, donc p = 53. Équation : y = −(23)x + 53.
On teste C : −(23) × 7 + 53 = −143 + 53 = −93 = −3, qui est bien l'ordonnée de C. Donc C appartient à (AB).
Les deux méthodes concordent. La première est plus rapide et fonctionne même quand la droite est verticale ; la seconde a l'avantage de fournir l'équation de la droite.