Droites du plan et systèmes — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 9 points à retenir et 8 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Vecteur directeur
Définition
Un vecteur directeur d'une droite d est un vecteur non nul dont la direction est celle de d. Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires.
Appartenance vectorielle
Si A est un point de d et u un vecteur directeur, alors M appartient à d si et seulement si AM et u sont colinéaires.
2. Équation cartésienne
Définition
Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0, où a et b ne sont pas tous deux nuls. Réciproquement, une telle équation décrit une droite.
Vecteur directeur associé
La droite ax + by + c = 0 admet u(−b ; a) comme vecteur directeur. Le vecteur (b ; −a) convient aussi, puisqu'il est opposé.
Démonstration de la forme générale
Soit A(xA ; yA) et u(α ; β) non nul. Un point M(x ; y) est sur la droite dirigée par u si et seulement si det(AM, u) = 0 :
(x − xA)β − (y − yA)α = 0.
Après développement : βx − αy + (αyA − βxA) = 0, qui est bien de la forme ax + by + c = 0.
3. Équation réduite et pente
Propriété
Une droite non verticale admet une unique équation réduite y = mx + p. Sa pente vaut m et un vecteur directeur est (1 ; m). Une droite verticale a une équation x = k et n'a pas de coefficient directeur.
6. Positions relatives
Parallélisme et intersection
- Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
- Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente.
- Si elles ont la même pente mais des ordonnées à l'origine différentes, elles sont strictement parallèles.
- Si leurs pentes sont différentes, elles sont sécantes en un unique point.
7. Point d'intersection et système
Principe
Les coordonnées du point d'intersection de deux droites vérifient simultanément leurs deux équations. Elles sont donc solution d'un système de deux équations.
8. Alignement de trois points
Erreurs fréquentes
- Prendre (a ; b) comme vecteur directeur de ax + by + c = 0 : un choix correct est (−b ; a).
- Diviser par b pour obtenir une équation réduite alors que b = 0 : la droite est alors verticale.
- Vérifier un point en remplaçant seulement x ou seulement y.
- Dans un système, trouver x puis oublier de calculer y et de vérifier le couple.
- Conclure que deux droites de même pente sont confondues sans comparer leurs ordonnées à l'origine.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Passer de la forme cartésienne à la forme réduite
Si b ≠ 0 dans ax + by + c = 0, isoler y :
y = (−ab)x − cb.
La pente est donc m = −ab.
Méthode 2Avec un point et une pente
Pour une droite de pente m passant par A(xA ; yA), écrire y = mx + p puis calculer p avec les coordonnées de A. On peut aussi utiliser y − yA = m(x − xA).
Méthode 3Avec deux points
Si xA ≠ xB, calculer m = yB − yAxB − xA, puis p. Si xA = xB, la droite est verticale : x = xA.
Méthode 4Avec un point et un vecteur directeur
Pour A(xA ; yA) et u(α ; β), écrire det(AM, u) = 0.
Méthode 5
- Avec y = mx + p : placer (0 ; p), puis utiliser la pente. Pour m = 23, avancer de 3 et monter de 2.
- Avec ax + by + c = 0 : trouver deux points en fixant successivement x puis y.
- Avec un point A et un vecteur directeur u : placer A puis A + u.
Méthode 6Résolution par substitution
Isoler une inconnue dans une équation, remplacer dans l'autre, puis revenir à l'inconnue restante.
Méthode 7Résolution par combinaison
Multiplier éventuellement les équations, puis les additionner ou les soustraire afin d'éliminer une inconnue.
Méthode 8Trois méthodes possibles
- montrer que det(AB, AC) = 0 ;
- déterminer une équation de (AB) et vérifier que C la satisfait ;
- si les dénominateurs sont non nuls, comparer les pentes de (AB) et (AC).
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