Exercices corrigés — Droites du plan et systèmes (Seconde)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Application ». Voir les 8 exercices.

Exercice 3 Application

Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par C(−1 ; 4) et dirigée par u(2 ; 5).

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Correction détaillée

un point M(x ; y) appartient à la droite si et seulement si CM et u sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul.
CM = (x − (−1) ; y − 4) = (x + 1 ; y − 4). det(CM, u) = (x + 1) × 5 − (y − 4) × 2 = 5x + 5 − 2y + 8 = 5x − 2y + 13.
Une équation cartésienne de la droite est 5x − 2y + 13 = 0.
Vérifications : C donne 5 × (−1) − 2 × 4 + 13 = 0 ; le vecteur (−b ; a) = (2 ; 5) associé à l'équation est bien u. Le point C + u = (1 ; 9) est aussi sur la droite : 5 − 18 + 13 = 0.

Exercice 4 Application

La droite d a pour pente −23 et passe par A(3 ; 1). a) Déterminer son équation réduite. b) Déterminer les coordonnées de ses points d'intersection avec les axes du repère. c) Expliquer comment la tracer.

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Correction détaillée

a) L'équation réduite est de la forme y = −(23)x + p. Comme A est sur d : 1 = −(23) × 3 + p = −2 + p, donc p = 3. Équation : y = −(23)x + 3.
b) Avec l'axe des ordonnées (x = 0) : y = 3, point (0 ; 3), c'est l'ordonnée à l'origine. Avec l'axe des abscisses (y = 0) : −(23)x + 3 = 0 ⇔ x = 3 × 32 = 4,5, point (4,5 ; 0).
c) On place le point (0 ; 3), puis on utilise la pente : −23 signifie que lorsqu'on avance de 3 unités vers la droite, on descend de 2 unités ; on arrive au point (3 ; 1), qui est bien A. On trace la droite passant par ces deux points, et l'on contrôle qu'elle passe par (4,5 ; 0).
Un vecteur directeur est (3 ; −2), ou encore (1 ; −23) : la pente est l'ordonnée du vecteur directeur d'abscisse 1.

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