Droites du plan et systèmes — cours de Seconde
Vecteur directeur, Équation cartésienne, Équation réduite et pente, Déterminer une équation de droite Lecture ≈ 5 min.
1. Vecteur directeur
Un vecteur directeur d'une droite d est un vecteur non nul dont la direction est celle de d. Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires.
Si A est un point de d et u un vecteur directeur, alors M appartient à d si et seulement si AM et u sont colinéaires.
2. Équation cartésienne
Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0, où a et b ne sont pas tous deux nuls. Réciproquement, une telle équation décrit une droite.
La droite ax + by + c = 0 admet u(−b ; a) comme vecteur directeur. Le vecteur (b ; −a) convient aussi, puisqu'il est opposé.
Soit A(xA ; yA) et u(α ; β) non nul. Un point M(x ; y) est sur la droite dirigée par u si et seulement si det(AM, u) = 0 :
(x − xA)β − (y − yA)α = 0.
Après développement : βx − αy + (αyA − βxA) = 0, qui est bien de la forme ax + by + c = 0.
Pour d : 3x − 2y + 5 = 0, un vecteur directeur est (2 ; 3), car (−b ; a) = (2 ; 3).
A(−1 ; 1) appartient à d car 3(−1) − 2 × 1 + 5 = 0.
3. Équation réduite et pente
Une droite non verticale admet une unique équation réduite y = mx + p. Sa pente vaut m et un vecteur directeur est (1 ; m). Une droite verticale a une équation x = k et n'a pas de coefficient directeur.
Si b ≠ 0 dans ax + by + c = 0, isoler y :
y = (−ab)x − cb.
La pente est donc m = −ab.
2x + 5y − 10 = 0 ⇔ 5y = −2x + 10 ⇔ y = −(25)x + 2. La pente vaut −25 et l'ordonnée à l'origine vaut 2.
4. Déterminer une équation de droite
Pour une droite de pente m passant par A(xA ; yA), écrire y = mx + p puis calculer p avec les coordonnées de A. On peut aussi utiliser y − yA = m(x − xA).
Droite de pente 3 passant par A(2 ; −1) : y + 1 = 3(x − 2), donc y = 3x − 7.
Si xA ≠ xB, calculer m = yB − yAxB − xA, puis p. Si xA = xB, la droite est verticale : x = xA.
A(−2 ; 4), B(4 ; 1). m = 1 − 44 − (−2) = −36 = −12.
Avec A : 4 = (−12)(−2) + p = 1 + p, donc p = 3. Équation : y = −(12)x + 3.
Pour A(xA ; yA) et u(α ; β), écrire det(AM, u) = 0.
Droite passant par A(1 ; 2) et dirigée par u(3 ; −4) :
det((x − 1 ; y − 2), (3 ; −4)) = −4(x − 1) − 3(y − 2) = 0, soit 4x + 3y − 10 = 0.
5. Tracer une droite
- Avec y = mx + p : placer (0 ; p), puis utiliser la pente. Pour m = 23, avancer de 3 et monter de 2.
- Avec ax + by + c = 0 : trouver deux points en fixant successivement x puis y.
- Avec un point A et un vecteur directeur u : placer A puis A + u.
6. Positions relatives
- Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
- Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente.
- Si elles ont la même pente mais des ordonnées à l'origine différentes, elles sont strictement parallèles.
- Si leurs pentes sont différentes, elles sont sécantes en un unique point.
d1 : 2x − 3y + 1 = 0 a pour vecteur directeur (3 ; 2). d2 : 4x − 6y − 5 = 0 a pour vecteur directeur (6 ; 4) = 2(3 ; 2). Les droites sont parallèles. Elles ne sont pas confondues, car le triplet (4 ; −6 ; −5) n'est pas proportionnel à (2 ; −3 ; 1).
7. Point d'intersection et système
Les coordonnées du point d'intersection de deux droites vérifient simultanément leurs deux équations. Elles sont donc solution d'un système de deux équations.
Isoler une inconnue dans une équation, remplacer dans l'autre, puis revenir à l'inconnue restante.
Déterminer l'intersection de d : y = 2x − 1 et d' : y = −x + 5.
Au point commun, 2x − 1 = −x + 5, donc 3x = 6 et x = 2.
Alors y = 2 × 2 − 1 = 3. Le point d'intersection est I(2 ; 3).
Multiplier éventuellement les équations, puis les additionner ou les soustraire afin d'éliminer une inconnue.
Résoudre le système 2x + 3y = 13 et 5x − 3y = 8.
En additionnant, 7x = 21, donc x = 3. Dans la première équation : 6 + 3y = 13, donc 3y = 7 et y = 73.
La solution est (3 ; 73).
8. Alignement de trois points
- montrer que det(AB, AC) = 0 ;
- déterminer une équation de (AB) et vérifier que C la satisfait ;
- si les dénominateurs sont non nuls, comparer les pentes de (AB) et (AC).
- Prendre (a ; b) comme vecteur directeur de ax + by + c = 0 : un choix correct est (−b ; a).
- Diviser par b pour obtenir une équation réduite alors que b = 0 : la droite est alors verticale.
- Vérifier un point en remplaçant seulement x ou seulement y.
- Dans un système, trouver x puis oublier de calculer y et de vérifier le couple.
- Conclure que deux droites de même pente sont confondues sans comparer leurs ordonnées à l'origine.