Exercices corrigés — Croisement de deux variables qualitatives (Seconde)

Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B) = 90 + 70 − 30 = 130. Les 30 individus communs sont comptés dans A et dans B ; on les retire une fois. Il reste 200 − 130 = 70 individus qui ne sont ni dans A ni dans B.
Fréquence de A parmi B : dénominateur Card(B) = 70, numérateur Card(A ∩ B) = 30, soit 3070 = 37 ≈ 42,9 %.
Fréquence de B parmi A : dénominateur Card(A) = 90, soit 3090 = 13 ≈ 33,3 %.
Les deux fréquences conditionnelles ont le même numérateur mais des dénominateurs différents : elles ne sont égales que si Card(A) = Card(B). Dans un tableau croisé à deux lignes (A, non A) et deux colonnes (B, non B), les quatre cases seraient 30, 60, 40 et 70.

a) Ces fréquences sont conditionnelles : chacune est calculée dans la sous-population du centre ou de la périphérie (dénominateur 100). Si le lieu d'habitation n'avait aucun lien avec le mode de transport, les fréquences conditionnelles seraient proches des fréquences marginales (40 % de transports collectifs, 50 % de voiture) dans les deux groupes. Les écarts importants (54 % contre 26 %, 30 % contre 70 %) montrent que, dans ces données, les deux variables sont associées.
b) Non. Un tableau croisé met en évidence une association, jamais une cause. D'autres explications sont possibles : l'offre de transports collectifs est plus dense au centre, les distances à parcourir sont plus longues en périphérie, les revenus ou la composition des ménages diffèrent, ou l'échantillon de 200 personnes n'est pas représentatif.
Une formulation correcte : « dans cette enquête, les habitants de périphérie utilisent nettement plus souvent la voiture que ceux du centre ». Établir une causalité demanderait une étude contrôlant les autres facteurs.