Exercices corrigés — Croisement de deux variables qualitatives (Seconde)

le tableau indique 70 personnes qui habitent en périphérie et utilisent la voiture.
Dans toute la population, le dénominateur est le total général 200 : 70200 = 0,35, soit 35 % des personnes interrogées habitent en périphérie et utilisent la voiture.
Parmi les habitants de périphérie, le dénominateur est le total de la colonne « périphérie », 100 : 70100 = 70 % des habitants de périphérie utilisent la voiture. C'est une fréquence conditionnelle.
Le même effectif, 70, conduit à deux fréquences différentes selon la population de référence. La formulation « parmi », « chez » ou « sachant » signale qu'il faut diviser par l'effectif de la sous-population, et non par le total général.

on part des données : total 120, filles 70, donc garçons 120 − 70 = 50 ; demi-pensionnaires 45, donc externes 120 − 45 = 75.
Filles demi-pensionnaires : 30 (donnée). Garçons demi-pensionnaires : 45 − 30 = 15. Filles externes : 70 − 30 = 40. Garçons externes : 50 − 15 = 35.

abonnés : 60 % de 500, soit 0,60 × 500 = 300 personnes.
Premium parmi les abonnés : 35 % de 300, soit 0,35 × 300 = 105 personnes. Le pourcentage 35 % porte sur les 300 abonnés, pas sur les 500 personnes.
Fréquence dans toute la population : 105500 = 0,21, soit 21 %. On retrouve ce résultat par la proportion de proportion 0,60 × 0,35 = 0,21.
Dans un tableau croisé (abonné / non abonné en lignes, Premium / autre en colonnes), 105 serait l'effectif de la case « abonné et Premium », 300 le total de la ligne « abonné » et 500 le total général : 35 % est une fréquence conditionnelle, 21 % une fréquence dans la population.

a) Fréquence marginale : total de la colonne divisé par le total général, 45120 = 0,375, soit 37,5 % des élèves sont demi-pensionnaires.
b) Parmi les filles, le dénominateur est 70 : 3070 ≈ 0,429, soit environ 42,9 %. Parmi les garçons, le dénominateur est 50 : 1550 = 0,30, soit 30 %. Les filles de cette promotion sont proportionnellement plus souvent demi-pensionnaires que les garçons.
c) Parmi les demi-pensionnaires, le dénominateur est 45 : 3045 ≈ 0,667, soit deux tiers. Ce n'est pas la même question qu'en b) : « filles parmi les demi-pensionnaires » (3045) et « demi-pensionnaires parmi les filles » (3070) partagent le numérateur 30 mais pas le dénominateur.
Cohérence : la fréquence marginale 37,5 % est comprise entre les deux fréquences conditionnelles 30 % et 42,9 %, et plus proche de celle des filles, plus nombreuses.

chez les filles, le dénominateur est 18 : 1018 ≈ 0,556, soit environ 55,6 %. Chez les garçons, le dénominateur est 12 : 912 = 0,75, soit 75 %.
Dans toute la classe : 10 + 918 + 12 = 1930 ≈ 0,633, soit 63,3 %. Cette fréquence est comprise entre les deux précédentes.
Dans cette classe, la pratique sportive en club est plus fréquente chez les garçons que chez les filles. Attention : les effectifs sont petits (12 garçons), et un ou deux élèves de plus ou de moins changeraient nettement les pourcentages.
On ne peut pas généraliser à tous les lycéens : une classe n'est pas un échantillon représentatif, et le tableau décrit une association dans ces données, pas une règle générale.

a) ET correspond à l'intersection : les personnes qui habitent au centre et se déplacent à vélo ou à pied. C'est la case du tableau : 16 personnes.
b) OU correspond à la réunion : centre ou vélo/marche (ou les deux). Card(centre ∪ vélo) = Card(centre) + Card(vélo) − Card(centre ∩ vélo) = 100 + 20 − 16 = 104. Les 16 personnes des deux catégories ne doivent être comptées qu'une fois.
c) NON correspond au complémentaire : les personnes qui n'utilisent pas la voiture, 200 − 100 = 100, c'est-à-dire 80 en transports collectifs et 20 à vélo ou à pied.
d) Parmi les 100 habitants de périphérie, on retire les 70 automobilistes : 100 − 70 = 30 personnes, soit 26 en transports collectifs et 4 à vélo ou à pied. Un filtre combiné se lit case par case dans le tableau.

Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B) = 90 + 70 − 30 = 130. Les 30 individus communs sont comptés dans A et dans B ; on les retire une fois. Il reste 200 − 130 = 70 individus qui ne sont ni dans A ni dans B.
Fréquence de A parmi B : dénominateur Card(B) = 70, numérateur Card(A ∩ B) = 30, soit 3070 = 37 ≈ 42,9 %.
Fréquence de B parmi A : dénominateur Card(A) = 90, soit 3090 = 13 ≈ 33,3 %.
Les deux fréquences conditionnelles ont le même numérateur mais des dénominateurs différents : elles ne sont égales que si Card(A) = Card(B). Dans un tableau croisé à deux lignes (A, non A) et deux colonnes (B, non B), les quatre cases seraient 30, 60, 40 et 70.

a) Ces fréquences sont conditionnelles : chacune est calculée dans la sous-population du centre ou de la périphérie (dénominateur 100). Si le lieu d'habitation n'avait aucun lien avec le mode de transport, les fréquences conditionnelles seraient proches des fréquences marginales (40 % de transports collectifs, 50 % de voiture) dans les deux groupes. Les écarts importants (54 % contre 26 %, 30 % contre 70 %) montrent que, dans ces données, les deux variables sont associées.
b) Non. Un tableau croisé met en évidence une association, jamais une cause. D'autres explications sont possibles : l'offre de transports collectifs est plus dense au centre, les distances à parcourir sont plus longues en périphérie, les revenus ou la composition des ménages diffèrent, ou l'échantillon de 200 personnes n'est pas représentatif.
Une formulation correcte : « dans cette enquête, les habitants de périphérie utilisent nettement plus souvent la voiture que ceux du centre ». Établir une causalité demanderait une étude contrôlant les autres facteurs.