Exercices corrigés — Calcul littéral et expressions algébriques (Seconde)

aucun facteur commun n'apparaît ; on teste une identité remarquable de la forme a² − 2ab + b².
Les termes extrêmes sont des carrés : 16x² = (4x)² et 25 = 5², donc a = 4x et b = 5. Le double produit vaut alors 2 × 4x × 5 = 40x, et le terme central est bien −40x.
Donc C(x) = (4x)² − 2 × 4x × 5 + 5² = (4x − 5)².
Vérification : (4x − 5)² = 16x² − 40x + 25. La vérification du double produit est l'étape décisive : 16x² − 30x + 25, par exemple, ne serait pas un carré parfait. Conséquence : C(x) ≥ 0 pour tout x, et C(x) = 0 seulement pour x = 54.

a) (x − 1)² = x² − 2x + 1, donc E(x) = x² − 2x + 1 − 9 = x² − 2x − 8.
b) E(x) est une différence de deux carrés, a² − b² avec a = x − 1 et b = 3 : E(x) = (x − 1 − 3)(x − 1 + 3) = (x − 4)(x + 2).
c) E(0) se lit sur la forme développée : c'est le terme constant, −8 (la forme factorisée donne aussi (−4)(2) = −8). Pour E(x) = 0, la forme factorisée permet d'appliquer la règle du produit nul : x − 4 = 0 ou x + 2 = 0, donc x = 4 ou x = −2.
Pour le minimum, la forme de départ est la bonne : (x − 1)² ≥ 0, donc E(x) ≥ −9, avec égalité pour x = 1. Le minimum de E vaut −9, atteint en 1. Trois formes, trois usages : aucune n'est « la meilleure » dans l'absolu.