Exercices corrigés — Calcul littéral et expressions algébriques (Seconde)

a) Un dénominateur ne doit jamais être nul. x² − 4 = (x − 2)(x + 2) s'annule pour x = 2 ou x = −2 : ces deux valeurs sont interdites. A est définie sur ℝ privé de {−2 ; 2}, soit ]−∞ ; −2[ ∪ ]−2 ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[.
b) Le contenu d'une racine carrée doit être positif ou nul : 3 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3. B est définie sur ]−∞ ; 3]. La valeur 3 est autorisée : B(3) = √0 = 0.
c) Deux conditions à la fois : la racine exige x − 1 ≥ 0, et le dénominateur exige √x − 1 ≠ 0, donc x − 1 ≠ 0. Au total x − 1 > 0, soit x > 1 : C est définie sur ]1 ; +∞[, la borne 1 étant exclue.
Toujours écrire l'ensemble de définition avant de calculer : une simplification peut faire disparaître une valeur interdite de l'expression finale, mais pas du problème.

on développe le produit avec la double distributivité, chaque terme de la première parenthèse multipliant chaque terme de la seconde : (3x + 2)(2x − 5) = 3x × 2x + 3x × (−5) + 2 × 2x + 2 × (−5) = 6x² − 15x + 4x − 10 = 6x² − 11x − 10.
On développe le carré avec l'identité (a − b)² = a² − 2ab + b² : (x − 1)² = x² − 2x + 1. Écrire x² − 1 serait l'erreur classique : le double produit −2x est indispensable.
On réduit en regroupant les termes de même nature : A(x) = 6x² + x² − 11x − 2x − 10 + 1 = 7x² − 13x − 9.
Contrôle avec x = 1 : forme initiale (5)(−3) + 0 = −15 ; forme réduite 7 − 13 − 9 = −15. Un test numérique ne prouve pas l'égalité, mais il détecte la plupart des erreurs.