Exercices corrigés — Calcul littéral et expressions algébriques (Seconde)

a) Un dénominateur ne doit jamais être nul. x² − 4 = (x − 2)(x + 2) s'annule pour x = 2 ou x = −2 : ces deux valeurs sont interdites. A est définie sur ℝ privé de {−2 ; 2}, soit ]−∞ ; −2[ ∪ ]−2 ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[.
b) Le contenu d'une racine carrée doit être positif ou nul : 3 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3. B est définie sur ]−∞ ; 3]. La valeur 3 est autorisée : B(3) = √0 = 0.
c) Deux conditions à la fois : la racine exige x − 1 ≥ 0, et le dénominateur exige √x − 1 ≠ 0, donc x − 1 ≠ 0. Au total x − 1 > 0, soit x > 1 : C est définie sur ]1 ; +∞[, la borne 1 étant exclue.
Toujours écrire l'ensemble de définition avant de calculer : une simplification peut faire disparaître une valeur interdite de l'expression finale, mais pas du problème.

on développe le produit avec la double distributivité, chaque terme de la première parenthèse multipliant chaque terme de la seconde : (3x + 2)(2x − 5) = 3x × 2x + 3x × (−5) + 2 × 2x + 2 × (−5) = 6x² − 15x + 4x − 10 = 6x² − 11x − 10.
On développe le carré avec l'identité (a − b)² = a² − 2ab + b² : (x − 1)² = x² − 2x + 1. Écrire x² − 1 serait l'erreur classique : le double produit −2x est indispensable.
On réduit en regroupant les termes de même nature : A(x) = 6x² + x² − 11x − 2x − 10 + 1 = 7x² − 13x − 9.
Contrôle avec x = 1 : forme initiale (5)(−3) + 0 = −15 ; forme réduite 7 − 13 − 9 = −15. Un test numérique ne prouve pas l'égalité, mais il détecte la plupart des erreurs.

a) (2x + 3)² = (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² + 12x + 9, avec (a + b)² = a² + 2ab + b². Attention à (2x)² = 4x² et non 2x².
(3 − x)(3 + x) = 3² − x² = 9 − x², avec (a − b)(a + b) = a² − b².
(x − 12)² = x² − 2 × x × 12 + (12)² = x² − x + 14.
b) 98² = (100 − 2)² = 100² − 2 × 100 × 2 + 2² = 10 000 − 400 + 4 = 9 604. 51 × 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 50² − 1² = 2 500 − 1 = 2 499. Les identités remarquables sont aussi des outils de calcul rapide.

les deux termes de la différence contiennent le facteur (x + 5) : c'est le facteur commun, que l'on met en évidence en appliquant AU − AV = A(U − V) avec A = x + 5.
B(x) = (x + 5)[(3x − 2) − (x + 4)]. On réduit le crochet en distribuant le signe moins à chaque terme de la seconde parenthèse : 3x − 2 − x − 4 = 2x − 6.
B(x) = (x + 5)(2x − 6). On peut encore factoriser 2 dans le second facteur : B(x) = 2(x + 5)(x − 3).
Vérification en développant : 2(x + 5)(x − 3) = 2(x² + 2x − 15) = 2x² + 4x − 30, et le développement direct de B(x) donne (3x² + 13x − 10) − (x² + 9x + 20) = 2x² + 4x − 30. La forme factorisée montre que B(x) s'annule pour x = −5 et x = 3.

aucun facteur commun n'apparaît ; on teste une identité remarquable de la forme a² − 2ab + b².
Les termes extrêmes sont des carrés : 16x² = (4x)² et 25 = 5², donc a = 4x et b = 5. Le double produit vaut alors 2 × 4x × 5 = 40x, et le terme central est bien −40x.
Donc C(x) = (4x)² − 2 × 4x × 5 + 5² = (4x − 5)².
Vérification : (4x − 5)² = 16x² − 40x + 25. La vérification du double produit est l'étape décisive : 16x² − 30x + 25, par exemple, ne serait pas un carré parfait. Conséquence : C(x) ≥ 0 pour tout x, et C(x) = 0 seulement pour x = 54.

a) (x − 1)² = x² − 2x + 1, donc E(x) = x² − 2x + 1 − 9 = x² − 2x − 8.
b) E(x) est une différence de deux carrés, a² − b² avec a = x − 1 et b = 3 : E(x) = (x − 1 − 3)(x − 1 + 3) = (x − 4)(x + 2).
c) E(0) se lit sur la forme développée : c'est le terme constant, −8 (la forme factorisée donne aussi (−4)(2) = −8). Pour E(x) = 0, la forme factorisée permet d'appliquer la règle du produit nul : x − 4 = 0 ou x + 2 = 0, donc x = 4 ou x = −2.
Pour le minimum, la forme de départ est la bonne : (x − 1)² ≥ 0, donc E(x) ≥ −9, avec égalité pour x = 1. Le minimum de E vaut −9, atteint en 1. Trois formes, trois usages : aucune n'est « la meilleure » dans l'absolu.

condition d'existence : le dénominateur ne doit pas être nul, 2x + 1 ≠ 0, soit x ≠ −12.
On factorise le numérateur avec l'identité a² − b² = (a − b)(a + b), où a = 2x et b = 1 : 4x² − 1 = (2x − 1)(2x + 1).
Pour x ≠ −12, D(x) = [(2x − 1)(2x + 1)]/(2x + 1) = 2x − 1 : on a simplifié le facteur commun (2x + 1), non nul.
La condition x ≠ −12 subsiste : l'expression simplifiée 2x − 1 est définie en −12, mais pas D(x). On ne simplifie que des facteurs : 4x² + 12x + 1, par exemple, ne se simplifie pas.

on traite E et m comme des nombres connus et l'on effectue les mêmes opérations sur les deux membres pour isoler v.
On multiplie par 2 : 2E = mv². On divise par m, non nul puisque m > 0 : v² = 2E/m.
Le nombre 2E/m est positif ou nul (E ≥ 0 et m > 0), donc l'équation v² = 2E/m a pour solutions √2E/m et −√2E/m. Comme une vitesse est positive, v ≥ 0, on retient v = √2E/m.
Vérification : (12) × m × (√2E/m)² = (12) × m × 2E/m = E. Exemple : pour E = 100 J et m = 2 kg, v = √100 = 10 m/s.