Calcul littéral et expressions algébriques — cours de Seconde
Expressions et valeurs interdites, Développer et réduire, Identités remarquables, Factoriser Lecture ≈ 4 min.
1. Expressions et valeurs interdites
Une expression algébrique combine nombres, variables et opérations. Son ensemble de définition contient les valeurs pour lesquelles tous les calculs ont un sens. Un dénominateur ne doit jamais être nul ; le contenu d'une racine carrée doit être positif ou nul.
A(x) = 2x + 1x − 3 est définie pour x ≠ 3, soit sur ]−∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[.
B(x) = √x + 4 est définie lorsque x + 4 ≥ 0, donc pour x ∈ [−4 ; +∞[.
2. Développer et réduire
Pour tous réels k, a et b :
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb.
Pour tous réels a, b, c et d :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
- Distribuer chaque facteur, en surveillant les signes.
- Regrouper les termes de même nature : termes en x2, en x, puis constantes.
Développer A = (2x − 3)(x + 5) − 4(x − 1).
A = 2x × x + 2x × 5 − 3 × x − 3 × 5 − 4x + 4
A = 2x2 + 10x − 3x − 15 − 4x + 4
A = 2x2 + 3x − 11.
3. Identités remarquables
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
(3x − 4)2 = (3x)2 − 2 × 3x × 4 + 42 = 9x2 − 24x + 16.
(5x + 2)(5x − 2) = (5x)2 − 22 = 25x2 − 4.
Calcul mental : 1032 = (100 + 3)2 = 10 000 + 600 + 9 = 10 609.
4. Factoriser
Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en produit. On cherche un facteur commun ou on reconnaît une identité remarquable.
Dans AU + AV, le facteur commun est A : AU + AV = A(U + V).
6x2 − 15x = 3x(2x − 5).
(2x + 1)(x − 4) + 3(2x + 1) = (2x + 1)[(x − 4) + 3] = (2x + 1)(x − 1).
49x2 − 25 = (7x)2 − 52 = (7x − 5)(7x + 5).
x2 + 6x + 9 = x2 + 2 × x × 3 + 32 = (x + 3)2.
5. Choisir une forme adaptée
- La forme développée réduite facilite une addition, une comparaison par différence ou une lecture des coefficients.
- La forme factorisée facilite la résolution d'une équation produit nul et l'étude du signe.
- Une forme contenant un carré peut faciliter la recherche d'un minimum.
E(x) = (x − 2)(x + 4) = x2 + 2x − 8.
- Pour calculer E(2), la forme factorisée donne immédiatement 0.
- Pour comparer E(x) à x2, la forme développée donne E(x) − x2 = 2x − 8.
6. Expressions fractionnaires
On ne simplifie que des facteurs communs. Pour x ≠ 0 :
3x5x = 35.
Mais x + 3x ne se simplifie pas. On peut seulement écrire x + 3x = 1 + 3x.
Simplifier F(x) = x2 − 9x − 3.
- Condition : x ≠ 3.
- x2 − 9 = (x − 3)(x + 3).
- Pour x ≠ 3, F(x) = [(x − 3)(x + 3)]/(x − 3) = x + 3.
La condition x ≠ 3 subsiste : l'expression initiale n'est pas définie en 3.
7. Isoler une variable
Traiter les autres lettres comme des nombres connus et effectuer la même opération sur les deux membres.
U = RI avec I ≠ 0 : en divisant par I, R = UI.
S = πr2, avec r ≥ 0 : r2 = Sπ, donc r = √Sπ.
ax + by = c avec b ≠ 0 : by = c − ax, donc y = c − axb.
V = πr2h avec r ≠ 0 : h = Vπr2.
- (a − b)2 ≠ a2 − b2 : le terme −2ab est indispensable.
- Distribuer un signe moins seulement au premier terme : −(a − b) = −a + b.
- Réduire 2x + 3x2 en 5x3 : ces termes ne sont pas semblables.
- Simplifier avant d'avoir factorisé, ou oublier les valeurs interdites.