Exercices corrigés — Arithmétique, multiples, diviseurs et fractions (Seconde)

a) Soient a et b deux entiers impairs : il existe des entiers k et l tels que a = 2k + 1 et b = 2l + 1. Alors ab = (2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1.
Le nombre 2kl + k + l est un entier, donc ab est de la forme 2q + 1 : le produit est impair.
b) On raisonne par contraposée : « si n est impair, alors n² est impair ». C'est le cas a) avec a = b = n : le produit n × n de deux impairs est impair.
La contraposée étant vraie, l'implication l'est aussi : si n² est pair, alors n est pair. Ce résultat est utile pour montrer que √2 n'est pas un nombre rationnel.

a) Les passages de A ont lieu 15, 30, 45, 60… minutes après 7 h : ce sont les multiples de 15. Ceux de B sont les multiples de 20 : 20, 40, 60… Ils passent ensemble aux multiples communs, et le premier est le plus petit multiple commun.
15 = 3 × 5 et 20 = 2² × 5 ; le plus petit multiple commun contient chaque facteur premier avec son plus grand exposant : 2² × 3 × 5 = 60. Ils repassent ensemble 60 minutes plus tard, à 8 h 00.
b) Ils passent ensemble toutes les heures : à 8 h, 9 h, 10 h, 11 h et 12 h, soit 5 fois après 7 h 00 (6 fois si l'on compte le passage de 7 h).
Méthode : « périodes qui coïncident » se traduit par « multiple commun » ; « répartir sans reste » se traduirait par « diviseur commun ».