Arithmétique, multiples, diviseurs et fractions — cours de Seconde
Multiples et diviseurs, Parité, Rappel du collège, Fractions irréductibles Lecture ≈ 4 min.
1. Multiples et diviseurs
Soient a et b deux entiers, avec b ≠ 0. On dit que a est un multiple de b, ou que b divise a, s'il existe un entier k tel que a = kb. On écrit aussi b | a.
- 84 = 7 × 12 : 84 est un multiple de 7 et de 12 ; 7 et 12 divisent 84.
- −30 = (−5) × 6 : −30 est un multiple de 6.
- 17 n'est pas un multiple de 3 car il n'existe aucun entier k tel que 17 = 3k.
- Tout entier est multiple de 1 ; 0 est multiple de tout entier non nul.
- Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
- Il est divisible par 3 (respectivement 9) si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (respectivement 9).
- Il est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
- Il est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
2. Parité
Un entier n est pair s'il existe un entier k tel que n = 2k. Il est impair s'il existe un entier k tel que n = 2k + 1.
- pair + pair = pair ; impair + impair = pair ; pair + impair = impair ;
- un produit est pair dès que l'un de ses facteurs est pair ;
- le produit de deux nombres impairs est impair.
Soit n impair. Il existe k ∈ ℤ tel que n = 2k + 1. Alors :
n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1.
Le nombre 2k2 + 2k est entier, donc n2 est de la forme 2q + 1 : il est impair.
Pour une valeur entière fixée a, supposons que u et v sont multiples de a. Il existe donc deux entiers k et l tels que u = ak et v = al. Alors u + v = ak + al = a(k + l). Comme k + l est entier, u + v est multiple de a.
3. Rappel du collège : nombres premiers et décomposition
La décomposition en facteurs premiers est un acquis du collège, réutilisé ici comme outil pour obtenir une fraction irréductible. Elle ne constitue pas une notion nouvelle ajoutée par le programme de Seconde 2026.
Un entier naturel supérieur ou égal à 2 est premier s'il possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Le nombre 1 n'est pas premier.
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers, de manière unique à l'ordre des facteurs près.
Diviser successivement par les plus petits nombres premiers possibles.
Décomposer 756 :
756 = 2 × 378 = 22 × 189 = 22 × 3 × 63 = 22 × 32 × 21 = 22 × 33 × 7.
Contrôle : 4 × 27 × 7 = 108 × 7 = 756.
4. Fractions irréductibles
Une fraction ab est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun positif autre que 1.
- Décomposer numérateur et dénominateur en facteurs premiers.
- Simplifier les facteurs communs, jamais des termes d'une somme.
Simplifier 756630.
756 = 22 × 33 × 7 et 630 = 2 × 32 × 5 × 7.
On simplifie 2 × 32 × 7 :
756630 = 2 × 35 = 65.
5. Calcul sur les fractions
| Opération | Règle |
|---|---|
| Addition | ac + bc = a + bc ; sinon réduire au même dénominateur |
| Multiplication | (ab) × (cd) = acbd |
| Inverse | l'inverse de ab, avec a ≠ 0, est ba |
| Division | (ab) ÷ (cd) = (ab) × (dc), avec c ≠ 0 |
Calculer A = 56 − 34 × 29.
- La multiplication est prioritaire : 34 × 29 = 636 = 16.
- A = 56 − 16 = 46.
- On simplifie : A = 23.
Calculer B = (710) ÷ (1415) : B = 710 × 1514 = 1 × 32 × 2 = 34.
6. Problèmes de divisibilité
Traduire le texte avant de calculer : « répartir sans reste en paquets de b » signifie que l'effectif est multiple de b ; « périodes qui coïncident » conduit à chercher un multiple commun.
Des lampes clignotent toutes les 12 s et toutes les 18 s. Elles s'allument ensemble à 10 h. Quand coïncident-elles à nouveau ?
On cherche le plus petit multiple commun positif. 12 = 22 × 3 et 18 = 2 × 32. Le plus petit multiple commun est 22 × 32 = 36. Elles coïncident 36 s plus tard.
- Dire « 3 est divisible par 12 » au lieu de « 3 divise 12 ».
- Oublier que le nombre 1 n'est pas premier.
- Simplifier a + ba en supprimant les a : une simplification porte sur des facteurs, pas sur des termes.
- Additionner les dénominateurs : 12 + 13 ≠ 25.