Exercices corrigés — Arithmétique, multiples, diviseurs et fractions (Seconde)

par 2 : le chiffre des unités est 5, qui n'est pas pair, donc 4 725 n'est pas divisible par 2.
par 3 : la somme des chiffres est 4 + 7 + 2 + 5 = 18, divisible par 3, donc 4 725 est divisible par 3. Par 9 : 18 est aussi divisible par 9, donc 4 725 est divisible par 9. Vérification : 4 725 = 9 × 525.
par 5 : le chiffre des unités est 5, donc 4 725 est divisible par 5 ; 4 725 = 5 × 945.
par 15 : 15 = 3 × 5, et 3 et 5 n'ont aucun facteur commun ; un nombre divisible par 3 et par 5 est divisible par 15. Donc 4 725 est divisible par 15 : 4 725 = 15 × 315. Décomposition complète : 4 725 = 3³ × 5² × 7.

trois entiers consécutifs s'écrivent n, n + 1 et n + 2, où n est un entier quelconque. Cette écriture générale remplace tous les exemples possibles.
Leur somme vaut n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1).
Comme n + 1 est un entier, la somme est de la forme 3k avec k entier : c'est un multiple de 3, par définition.
Exemple de contrôle : 7 + 8 + 9 = 24 = 3 × 8, et le facteur 8 est bien n + 1 pour n = 7. Remarque : la somme est même égale à trois fois l'entier du milieu.

on décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, en divisant par les plus petits nombres premiers possibles.
1 386 = 2 × 693 = 2 × 3 × 231 = 2 × 3 × 3 × 77 = 2 × 3² × 7 × 11.
1 848 = 2 × 924 = 2² × 462 = 2³ × 231 = 2³ × 3 × 77 = 2³ × 3 × 7 × 11.
Les facteurs communs sont 2, 3, 7 et 11, soit un diviseur commun 2 × 3 × 7 × 11 = 462. On simplifie : 1 3861 848 = 462 × 3462 × 4 = 34. La fraction 34 est irréductible car 3 et 4 n'ont aucun diviseur commun autre que 1. On simplifie des facteurs, jamais des termes d'une somme.

C : on commence par la parenthèse. Le dénominateur commun de 3 et 12 est 12 : 23 = 812, donc 23 + 512 = 812 + 512 = 1312.
Diviser par 136, c'est multiplier par son inverse 613 : C = 1312 × 613 = 13 × 612 × 13. On simplifie par 13 puis par 6 : C = 612 = 12.
D : dénominateur commun de 4 et 6, le plus petit est 12 : 34 = 912 et 16 = 212, donc 34 − 16 = 712.
D = 712 × 87 = 7 × 812 × 7 = 812 = 23, après simplification par 7 puis par 4. Simplifier avant de multiplier évite les grands nombres et les erreurs.

a) Soient a et b deux entiers impairs : il existe des entiers k et l tels que a = 2k + 1 et b = 2l + 1. Alors ab = (2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1.
Le nombre 2kl + k + l est un entier, donc ab est de la forme 2q + 1 : le produit est impair.
b) On raisonne par contraposée : « si n est impair, alors n² est impair ». C'est le cas a) avec a = b = n : le produit n × n de deux impairs est impair.
La contraposée étant vraie, l'implication l'est aussi : si n² est pair, alors n est pair. Ce résultat est utile pour montrer que √2 n'est pas un nombre rationnel.

a) Les passages de A ont lieu 15, 30, 45, 60… minutes après 7 h : ce sont les multiples de 15. Ceux de B sont les multiples de 20 : 20, 40, 60… Ils passent ensemble aux multiples communs, et le premier est le plus petit multiple commun.
15 = 3 × 5 et 20 = 2² × 5 ; le plus petit multiple commun contient chaque facteur premier avec son plus grand exposant : 2² × 3 × 5 = 60. Ils repassent ensemble 60 minutes plus tard, à 8 h 00.
b) Ils passent ensemble toutes les heures : à 8 h, 9 h, 10 h, 11 h et 12 h, soit 5 fois après 7 h 00 (6 fois si l'on compte le passage de 7 h).
Méthode : « périodes qui coïncident » se traduit par « multiple commun » ; « répartir sans reste » se traduirait par « diviseur commun ».

le nombre de bouquets doit diviser 84 et 126, pour qu'il n'y ait pas de fleur restante ; on cherche le plus grand diviseur commun.
84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7. Les facteurs premiers communs, pris avec leur plus petit exposant, donnent 2 × 3 × 7 = 42.
Il fabrique donc 42 bouquets, chacun composé de 8442 = 2 roses et 12642 = 3 tulipes.
Vérification : 42 × 2 = 84 et 42 × 3 = 126, toutes les fleurs sont utilisées, et la composition (2 roses, 3 tulipes) ne peut plus être divisée en parts égales puisque 2 et 3 n'ont pas de diviseur commun.

b divise a exactement lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul. En Python, le reste s'obtient avec l'opérateur % : le test s'écrit a % b == 0, et sa valeur est le booléen True si b divise a, False sinon. Par exemple 84 % 7 == 0 vaut True et 17 % 3 == 0 vaut False.
Pour lister les diviseurs de n, on teste chaque entier d de 1 à n :

def diviseurs(n):
    L = []
    for d in range(1, n + 1):
        if n % d == 0:
            L.append(d)
    return L

diviseurs(12) renvoie [1, 2, 3, 4, 6, 12]. Attention à range(1, n + 1) : la borne droite est exclue, il faut aller jusqu'à n + 1 pour inclure n lui-même. Un entier n ≥ 2 est premier si et seulement si cette liste ne contient que 1 et n.