Arithmétique, multiples, diviseurs et fractions — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 12 points à retenir et 3 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Multiples et diviseurs
Définition
Soient a et b deux entiers, avec b ≠ 0. On dit que a est un multiple de b, ou que b divise a, s'il existe un entier k tel que a = kb. On écrit aussi b | a.
Propriétés et critères usuels
- Tout entier est multiple de 1 ; 0 est multiple de tout entier non nul.
- Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
- Il est divisible par 3 (respectivement 9) si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (respectivement 9).
- Il est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
- Il est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
2. Parité
Définition
Un entier n est pair s'il existe un entier k tel que n = 2k. Il est impair s'il existe un entier k tel que n = 2k + 1.
Propriétés
- pair + pair = pair ; impair + impair = pair ; pair + impair = impair ;
- un produit est pair dès que l'un de ses facteurs est pair ;
- le produit de deux nombres impairs est impair.
Démonstration exigible : le carré d'un nombre impair est impair
Soit n impair. Il existe k ∈ ℤ tel que n = 2k + 1. Alors :
n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1.
Le nombre 2k2 + 2k est entier, donc n2 est de la forme 2q + 1 : il est impair.
Démonstration exigible : somme de deux multiples
Pour une valeur entière fixée a, supposons que u et v sont multiples de a. Il existe donc deux entiers k et l tels que u = ak et v = al. Alors u + v = ak + al = a(k + l). Comme k + l est entier, u + v est multiple de a.
3. Rappel du collège : nombres premiers et décomposition
Statut de cette section
La décomposition en facteurs premiers est un acquis du collège, réutilisé ici comme outil pour obtenir une fraction irréductible. Elle ne constitue pas une notion nouvelle ajoutée par le programme de Seconde 2026.
Définition
Un entier naturel supérieur ou égal à 2 est premier s'il possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Le nombre 1 n'est pas premier.
Propriété
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers, de manière unique à l'ordre des facteurs près.
4. Fractions irréductibles
Définition
Une fraction ab est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun positif autre que 1.
5. Calcul sur les fractions
Règles
| Opération | Règle |
|---|---|
| Addition | ac + bc = a + bc ; sinon réduire au même dénominateur |
| Multiplication | (ab) × (cd) = acbd |
| Inverse | l'inverse de ab, avec a ≠ 0, est ba |
| Division | (ab) ÷ (cd) = (ab) × (dc), avec c ≠ 0 |
6. Problèmes de divisibilité
Erreurs fréquentes
- Dire « 3 est divisible par 12 » au lieu de « 3 divise 12 ».
- Oublier que le nombre 1 n'est pas premier.
- Simplifier a + ba en supprimant les a : une simplification porte sur des facteurs, pas sur des termes.
- Additionner les dénominateurs : 12 + 13 ≠ 25.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Méthode : décomposer un entier
Diviser successivement par les plus petits nombres premiers possibles.
Méthode 2Méthode : rendre une fraction irréductible
- Décomposer numérateur et dénominateur en facteurs premiers.
- Simplifier les facteurs communs, jamais des termes d'une somme.
Méthode 3
Traduire le texte avant de calculer : « répartir sans reste en paquets de b » signifie que l'effectif est multiple de b ; « périodes qui coïncident » conduit à chercher un multiple commun.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés