Exercices corrigés — Vecteurs, droites et produit scalaire (Première)

on regroupe les termes en x et les termes en y, puis on complète les carrés : x² + 2x = (x + 1)² − 1 et y² − 8y = (y − 4)² − 16.
L'équation devient (x + 1)² − 1 + (y − 4)² − 16 + 8 = 0, soit (x + 1)² + (y − 4)² = 9.
On reconnaît l'équation (x − a)² + (y − b)² = r² du cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r, avec a = −1, b = 4 et r² = 9 : centre Ω(−1 ; 4), rayon 3.
Vérification : le point (2 ; 4), situé à 3 unités à droite du centre, vérifie 4 + 16 + 4 − 32 + 8 = 0. Si le second membre obtenu avait été négatif, aucun point n'aurait convenu ; s'il avait été nul, l'ensemble aurait été réduit au point Ω.

a) Un point M(x ; y) appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si MA · MB = 0 (pour M distinct de A et B, cela signifie que le triangle AMB est rectangle en M). MA = (1 − x ; 2 − y) et MB = (5 − x ; 4 − y).
MA · MB = (1 − x)(5 − x) + (2 − y)(4 − y) = x² − 6x + 5 + y² − 6y + 8. L'équation du cercle est x² + y² − 6x − 6y + 13 = 0.
b) On complète les carrés : (x − 3)² − 9 + (y − 3)² − 9 + 13 = 0, soit (x − 3)² + (y − 3)² = 5. Le centre est I(3 ; 3) et le rayon √5.
Cohérence : I est bien le milieu de [AB], de coordonnées (1 + 52 ; 2 + 42) = (3 ; 3), et AB = √4² + 2² = √20 = 2√5, donc le rayon AB2 vaut √5.