Vecteurs, droites et produit scalaire — cours de Première
Calcul vectoriel dans le plan, Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite, Produit scalaire, Propriétés algébriques Lecture ≈ 7 min.
1. Calcul vectoriel dans le plan
Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme. Dans un repère, si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors
AB = (xB − xA ; yB − yA).
Pour u = (x ; y) et v = (x' ; y'), on a u + v = (x + x' ; y + y') et λu = (λx ; λy).
Pour tous points A, B et C, AB + BC = AC. Le milieu I de [AB] vérifie AI = (12)AB et a pour coordonnées (xA + xB2 ; yA + yB2).
Deux vecteurs u et v non nuls sont colinéaires s'il existe un réel λ tel que v = λu. En coordonnées :
det(u, v) = xy' − yx' ; u et v colinéaires ⇔ det(u, v) = 0.
A(1 ; −2), B(4 ; 1) et C(7 ; 4). AB = (3 ; 3), AC = (6 ; 6) = 2AB. Les vecteurs sont colinéaires ; A, B et C sont alignés.
2. Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite
Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul ayant la même direction que cette droite. Une équation cartésienne de droite est de la forme
ax + by + c = 0, avec (a ; b) ≠ (0 ; 0).
Le vecteur u = (−b ; a) est directeur de cette droite.
Un vecteur n non nul est normal à une droite s'il est orthogonal à tout vecteur directeur de cette droite. Pour la droite ax + by + c = 0, n = (a ; b) est un vecteur normal.
Le produit scalaire de n = (a ; b) et u = (−b ; a) vaut a(−b) + ba = 0 : ces deux vecteurs sont orthogonaux.
La droite de vecteur normal n = (a ; b) passant par A(xA ; yA) est l'ensemble des points M(x ; y) tels que n · AM = 0. Donc
a(x − xA) + b(y − yA) = 0.
Déterminer la droite passant par A(2 ; −1) et de vecteur normal n = (3 ; 4). On écrit 3(x − 2) + 4(y + 1) = 0, soit 3x + 4y − 2 = 0. Vérification : A satisfait 6 − 4 − 2 = 0.
- Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, ou leurs vecteurs normaux colinéaires.
- Deux droites sont perpendiculaires si un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre.
- Si leurs vecteurs normaux n1 et n2 sont orthogonaux, les droites sont perpendiculaires.
3. Produit scalaire : définitions
Pour deux vecteurs non nuls u et v,
u · v = ||u|| × ||v|| × cos(θ),
où θ est une mesure de l'angle entre les deux vecteurs. Si l'un des vecteurs est nul, leur produit scalaire vaut 0.
Si u = (x ; y) et v = (x' ; y'), alors
u · v = xx' + yy'.
En particulier ||u|| = √x2 + y2.
Dans une base orthonormée (i, j), si u = xi + yj, alors
x = u · i et y = u · j.
En effet i · i = j · j = 1 et i · j = 0. Ainsi le produit scalaire donne les projections orthogonales de u sur les axes.
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u · v = 0.
u = (2 ; −3) et v = (6 ; 4). Alors u · v = 2 × 6 + (−3) × 4 = 0. Ces vecteurs sont orthogonaux.
4. Propriétés algébriques
Pour tous vecteurs u, v, w et tout réel λ :
- u · v = v · u ;
- u · (v + w) = u · v + u · w ;
- (λu) · v = λ(u · v) ;
- u · u = ||u||2 ;
- ||u + v||2 = ||u||2 + 2u · v + ||v||2.
- ||u − v||2 = ||u||2 − 2u · v + ||v||2.
En développant avec la distributivité :
||u + v||2 = (u + v) · (u + v) = u · u + u · v + v · u + v · v. Par symétrie, les deux termes croisés sont égaux, d'où la formule.
Pour trois points A, B et C :
AB · AC = AB2 + AC2 − BC22.
Cette formule vient de BC = AC − AB, puis du développement de ||AC − AB||2.
Pour deux points fixes A et B et un point variable M :
MA · MB = MA2 + MB2 − AB22.
Si I est le milieu de [AB], alors MA = MI + IA et MB = MI + IB, avec IB = −IA. Les termes croisés s'annulent, d'où
MA · MB = MI2 − IA2 = MI2 − AB24.
Cette transformation convertit un produit scalaire en condition de distance au milieu.
5. Projeté orthogonal
Le projeté orthogonal H d'un point C sur une droite (AB) est le point de (AB) tel que CH soit perpendiculaire à (AB).
Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB), alors
AB · AC = AB · AH.
En effet AC = AH + HC et AB · HC = 0. Cette expression tient compte du signe : AH peut avoir le sens opposé à AB.
- Écrire que H appartient à la droite, éventuellement sous forme paramétrique H = A + tu.
- Écrire CH · u = 0.
- Résoudre l'équation en t, puis calculer H.
A(0 ; 0), B(2 ; 1), C(1 ; 4). Un point H de (AB) s'écrit H(2t ; t). Alors CH = (2t − 1 ; t − 4) et AB = (2 ; 1). L'orthogonalité donne 2(2t − 1) + (t − 4) = 0, soit 5t − 6 = 0. Donc t = 65 et H(125 ; 65).
6. Théorèmes métriques
Dans un triangle ABC, en notant a = BC, b = CA et c = AB :
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(Â).
C'est une généralisation du théorème de Pythagore. Elle découle de BC = AC − AB et AB · AC = bc cos(Â).
Si I est le milieu de [BC], alors
AB2 + AC2 = 2AI2 + BC22.
Cette relation permet de calculer une médiane ou de caractériser certains lieux géométriques.
Dans un triangle, AB = 5, AC = 7 et BC = 8. Alors cos(Â) = AB2 + AC2 − BC22 × AB × AC = 25 + 49 − 6470 = 17. Donc  ≈ 81,8°.
7. Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation
(x − a)2 + (y − b)2 = r2.
Démonstration : M(x ; y) appartient au cercle si et seulement si ΩM = r. En élevant au carré la formule de distance, on obtient l'équation.
On complète les carrés. Par exemple x2 + y2 − 4x + 6y − 12 = 0 devient (x − 2)2 − 4 + (y + 3)2 − 9 − 12 = 0, donc (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25. Centre (2 ; −3), rayon 5.
Le point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si MA · MB = 0. En effet, si I est le milieu de [AB],
MA · MB = MI2 − AB24.
L'annulation équivaut donc à MI = AB2 : M est sur le cercle de centre I et de rayon AB2. Pour M distinct de A et B, cela équivaut aussi à AM · BM = 0 et au triangle AMB rectangle en M.
8. Erreurs fréquentes
- Calculer AB avec A − B : les coordonnées sont arrivée moins départ.
- Confondre vecteur directeur (−b ; a) et vecteur normal (a ; b).
- Utiliser la formule xx' + yy' dans un repère non orthonormé.
- Oublier que le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur.
- Conclure « vecteurs orthogonaux donc points perpendiculaires » : ce sont les droites ou segments portés par les vecteurs qui le sont.
- Développer (x − a)2 en x2 − a2.