Exercices corrigés — Vecteurs, droites et produit scalaire (Première)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Application ». Voir les 8 exercices.

Exercice 3 Application

Dans un repère orthonormé, A(1 ; 1), B(5 ; 3) et C(2 ; −1). Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

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Correction détaillée

le triangle est rectangle en A si et seulement si les vecteurs AB et AC sont orthogonaux, c'est-à-dire si leur produit scalaire est nul.
AB = (5 − 1 ; 3 − 1) = (4 ; 2) et AC = (2 − 1 ; −1 − 1) = (1 ; −2).
Dans un repère orthonormé, AB · AC = 4 × 1 + 2 × (−2) = 4 − 4 = 0.
Le produit scalaire est nul : les vecteurs sont orthogonaux et le triangle ABC est rectangle en A. Contrôle par Pythagore : AB² = 16 + 4 = 20, AC² = 1 + 4 = 5, BC² = 9 + 16 = 25, et 20 + 5 = 25.

Exercice 4 Application

u = (3 ; 1) et v = (2 ; 4) dans un repère orthonormé. a) Calculer u · v avec les coordonnées. b) Calculer ||u|| et ||v||. c) En déduire une mesure de l'angle θ entre u et v.

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Correction détaillée

a) u · v = xx' + yy' = 3 × 2 + 1 × 4 = 6 + 4 = 10.
b) ||u|| = √3² + 1² = √10 et ||v|| = √2² + 4² = √20 = 2√5.
c) La définition géométrique donne u · v = ||u|| × ||v|| × cos θ, donc cos θ = 10√10 × 2√5 = 102√50 = 102 × 5√2 = 1√2 = √22.
L'angle dont le cosinus vaut √22 est θ = π4, soit 45°. On peut le vérifier sur une figure : u fait un angle d'environ 18,4° avec l'axe des abscisses (tan = 13) et v un angle d'environ 63,4° (tan = 2), dont la différence est bien 45°. Un produit scalaire positif indique un angle aigu.

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