Exercices corrigés — Vecteurs, droites et produit scalaire (Première)

AB = (3 − (−1) ; 5 − 2) = (4 ; 3) est un vecteur directeur de la droite (AB).
Première méthode : une droite de vecteur directeur (−b ; a) a une équation de la forme ax + by + c = 0. Avec (4 ; 3) = (−b ; a), on prend a = 3 et b = −4 : 3x − 4y + c = 0. A appartient à la droite : 3 × (−1) − 4 × 2 + c = 0, donc c = 11.
Seconde méthode : le vecteur n(3 ; −4) est normal à la droite (3 × 4 + (−4) × 3 = 0), et M(x ; y) est sur la droite si et seulement si n · AM = 0, soit 3(x + 1) − 4(y − 2) = 0.
Dans les deux cas : 3x − 4y + 11 = 0. Vérification avec B : 9 − 20 + 11 = 0. Toute équation proportionnelle, comme −3x + 4y − 11 = 0, convient aussi.

a) AB = (3 ; 2) et AC = (−3 ; −2). Le déterminant det(AB, AC) = 3 × (−2) − 2 × (−3) = −6 + 6 = 0 : les vecteurs sont colinéaires, et l'on voit même AC = −AB. Les points A, B, C sont alignés, et A est le milieu de [BC] (car AC = −AB signifie BA = AC).
b) d a pour vecteur normal (2 ; −3) et d' pour vecteur normal (4 ; −6) = 2 × (2 ; −3). Les vecteurs normaux sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.
Sont-elles confondues ? En multipliant l'équation de d par 2, on obtient 4x − 6y + 2 = 0, dont le membre de gauche est celui de d' mais avec la constante 2 au lieu de 5 : un point de d vérifie 4x − 6y = −2 et ne peut vérifier 4x − 6y = −5.
Les droites sont strictement parallèles. Vérification : le point (1 ; 1) est sur d (2 − 3 + 1 = 0) mais pas sur d' (4 − 6 + 5 = 3 ≠ 0).

le triangle est rectangle en A si et seulement si les vecteurs AB et AC sont orthogonaux, c'est-à-dire si leur produit scalaire est nul.
AB = (5 − 1 ; 3 − 1) = (4 ; 2) et AC = (2 − 1 ; −1 − 1) = (1 ; −2).
Dans un repère orthonormé, AB · AC = 4 × 1 + 2 × (−2) = 4 − 4 = 0.
Le produit scalaire est nul : les vecteurs sont orthogonaux et le triangle ABC est rectangle en A. Contrôle par Pythagore : AB² = 16 + 4 = 20, AC² = 1 + 4 = 5, BC² = 9 + 16 = 25, et 20 + 5 = 25.

a) u · v = xx' + yy' = 3 × 2 + 1 × 4 = 6 + 4 = 10.
b) ||u|| = √3² + 1² = √10 et ||v|| = √2² + 4² = √20 = 2√5.
c) La définition géométrique donne u · v = ||u|| × ||v|| × cos θ, donc cos θ = 10√10 × 2√5 = 102√50 = 102 × 5√2 = 1√2 = √22.
L'angle dont le cosinus vaut √22 est θ = π4, soit 45°. On peut le vérifier sur une figure : u fait un angle d'environ 18,4° avec l'axe des abscisses (tan = 13) et v un angle d'environ 63,4° (tan = 2), dont la différence est bien 45°. Un produit scalaire positif indique un angle aigu.

on regroupe les termes en x et les termes en y, puis on complète les carrés : x² + 2x = (x + 1)² − 1 et y² − 8y = (y − 4)² − 16.
L'équation devient (x + 1)² − 1 + (y − 4)² − 16 + 8 = 0, soit (x + 1)² + (y − 4)² = 9.
On reconnaît l'équation (x − a)² + (y − b)² = r² du cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r, avec a = −1, b = 4 et r² = 9 : centre Ω(−1 ; 4), rayon 3.
Vérification : le point (2 ; 4), situé à 3 unités à droite du centre, vérifie 4 + 16 + 4 − 32 + 8 = 0. Si le second membre obtenu avait été négatif, aucun point n'aurait convenu ; s'il avait été nul, l'ensemble aurait été réduit au point Ω.

a) Un point M(x ; y) appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si MA · MB = 0 (pour M distinct de A et B, cela signifie que le triangle AMB est rectangle en M). MA = (1 − x ; 2 − y) et MB = (5 − x ; 4 − y).
MA · MB = (1 − x)(5 − x) + (2 − y)(4 − y) = x² − 6x + 5 + y² − 6y + 8. L'équation du cercle est x² + y² − 6x − 6y + 13 = 0.
b) On complète les carrés : (x − 3)² − 9 + (y − 3)² − 9 + 13 = 0, soit (x − 3)² + (y − 3)² = 5. Le centre est I(3 ; 3) et le rayon √5.
Cohérence : I est bien le milieu de [AB], de coordonnées (1 + 52 ; 2 + 42) = (3 ; 3), et AB = √4² + 2² = √20 = 2√5, donc le rayon AB2 vaut √5.

le théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus) donne la longueur du côté opposé à un angle connu : BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(Â).
Avec cos 60° = 12 : BC² = 6² + 9² − 2 × 6 × 9 × 12 = 36 + 81 − 54 = 63.
Donc BC = √63 = √9 × 7 = 3√7 ≈ 7,94.
Origine de la formule : BC = AC − AB, donc BC² = ||AC − AB||² = AC² − 2AB · AC + AB², et AB · AC = AB × AC × cos(Â) = 27. Si l'angle avait été droit, le terme en cosinus aurait disparu : Pythagore est le cas particulier  = 90°.

H est le point de d tel que (PH) soit perpendiculaire à d. Un vecteur normal à d est n = (2 ; −1) : la perpendiculaire à d passant par P est dirigée par n, et ses points s'écrivent H(1 + 2t ; 1 − t) avec t réel.
H appartient à d : 2(1 + 2t) − (1 − t) + 1 = 0, soit 2 + 4t − 1 + t + 1 = 0, c'est-à-dire 5t + 2 = 0 et t = −25.
Donc H(1 − 45 ; 1 + 25) = H(15 ; 75). Vérification : 2 × 15 − 75 + 1 = 25 − 75 + 55 = 0.
La distance de P à la droite est PH = √(15 − 1)² + (75 − 1)² = √1625 + 425 = √2025 = 2√5 ≈ 0,89. Autre méthode : H(x ; 2x + 1) sur d, et PH · (1 ; 2) = 0 (vecteur directeur), qui redonne x = 15.