Vecteurs, droites et produit scalaire — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 21 points à retenir et 4 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Calcul vectoriel dans le plan
Rappels
Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme. Dans un repère, si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors
AB = (xB − xA ; yB − yA).
Pour u = (x ; y) et v = (x' ; y'), on a u + v = (x + x' ; y + y') et λu = (λx ; λy).
Relation de Chasles
Pour tous points A, B et C, AB + BC = AC. Le milieu I de [AB] vérifie AI = (12)AB et a pour coordonnées (xA + xB2 ; yA + yB2).
Colinéarité et déterminant
Deux vecteurs u et v non nuls sont colinéaires s'il existe un réel λ tel que v = λu. En coordonnées :
det(u, v) = xy' − yx' ; u et v colinéaires ⇔ det(u, v) = 0.
2. Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite
Définitions
Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul ayant la même direction que cette droite. Une équation cartésienne de droite est de la forme
ax + by + c = 0, avec (a ; b) ≠ (0 ; 0).
Le vecteur u = (−b ; a) est directeur de cette droite.
Vecteur normal
Un vecteur n non nul est normal à une droite s'il est orthogonal à tout vecteur directeur de cette droite. Pour la droite ax + by + c = 0, n = (a ; b) est un vecteur normal.
Justification
Le produit scalaire de n = (a ; b) et u = (−b ; a) vaut a(−b) + ba = 0 : ces deux vecteurs sont orthogonaux.
Parallélisme et perpendicularité
- Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, ou leurs vecteurs normaux colinéaires.
- Deux droites sont perpendiculaires si un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre.
- Si leurs vecteurs normaux n1 et n2 sont orthogonaux, les droites sont perpendiculaires.
3. Produit scalaire : définitions
Définition géométrique
Pour deux vecteurs non nuls u et v,
u · v = ||u|| × ||v|| × cos(θ),
où θ est une mesure de l'angle entre les deux vecteurs. Si l'un des vecteurs est nul, leur produit scalaire vaut 0.
Expression en repère orthonormé
Si u = (x ; y) et v = (x' ; y'), alors
u · v = xx' + yy'.
En particulier ||u|| = √x2 + y2.
Coordonnées et produit avec la base
Dans une base orthonormée (i, j), si u = xi + yj, alors
x = u · i et y = u · j.
En effet i · i = j · j = 1 et i · j = 0. Ainsi le produit scalaire donne les projections orthogonales de u sur les axes.
Caractérisation de l'orthogonalité
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u · v = 0.
4. Propriétés algébriques
Propriétés
Pour tous vecteurs u, v, w et tout réel λ :
- u · v = v · u ;
- u · (v + w) = u · v + u · w ;
- (λu) · v = λ(u · v) ;
- u · u = ||u||2 ;
- ||u + v||2 = ||u||2 + 2u · v + ||v||2.
- ||u − v||2 = ||u||2 − 2u · v + ||v||2.
Démonstration de l'identité de polarisation
En développant avec la distributivité :
||u + v||2 = (u + v) · (u + v) = u · u + u · v + v · u + v · v. Par symétrie, les deux termes croisés sont égaux, d'où la formule.
Autres expressions
Pour trois points A, B et C :
AB · AC = AB2 + AC2 − BC22.
Cette formule vient de BC = AC − AB, puis du développement de ||AC − AB||2.
Produit MA⃗ · MB⃗ et milieu
Pour deux points fixes A et B et un point variable M :
MA · MB = MA2 + MB2 − AB22.
Si I est le milieu de [AB], alors MA = MI + IA et MB = MI + IB, avec IB = −IA. Les termes croisés s'annulent, d'où
MA · MB = MI2 − IA2 = MI2 − AB24.
Cette transformation convertit un produit scalaire en condition de distance au milieu.
5. Projeté orthogonal
Définition
Le projeté orthogonal H d'un point C sur une droite (AB) est le point de (AB) tel que CH soit perpendiculaire à (AB).
Produit scalaire par projection
Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB), alors
AB · AC = AB · AH.
En effet AC = AH + HC et AB · HC = 0. Cette expression tient compte du signe : AH peut avoir le sens opposé à AB.
6. Théorèmes métriques
Théorème d'AlKashi
Dans un triangle ABC, en notant a = BC, b = CA et c = AB :
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(Â).
C'est une généralisation du théorème de Pythagore. Elle découle de BC = AC − AB et AB · AC = bc cos(Â).
Formule de la médiane
Si I est le milieu de [BC], alors
AB2 + AC2 = 2AI2 + BC22.
Cette relation permet de calculer une médiane ou de caractériser certains lieux géométriques.
7. Équation d'un cercle
Cercle de centre connu
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation
(x − a)2 + (y − b)2 = r2.
Démonstration : M(x ; y) appartient au cercle si et seulement si ΩM = r. En élevant au carré la formule de distance, on obtient l'équation.
Cercle de diamètre [AB]
Le point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si MA · MB = 0. En effet, si I est le milieu de [AB],
MA · MB = MI2 − AB24.
L'annulation équivaut donc à MI = AB2 : M est sur le cercle de centre I et de rayon AB2. Pour M distinct de A et B, cela équivaut aussi à AM · BM = 0 et au triangle AMB rectangle en M.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Équation d'une droite passant par un point
La droite de vecteur normal n = (a ; b) passant par A(xA ; yA) est l'ensemble des points M(x ; y) tels que n · AM = 0. Donc
a(x − xA) + b(y − yA) = 0.
Méthode 2Calculer un projeté en coordonnées
- Écrire que H appartient à la droite, éventuellement sous forme paramétrique H = A + tu.
- Écrire CH · u = 0.
- Résoudre l'équation en t, puis calculer H.
Méthode 3Reconnaître un cercle
On complète les carrés. Par exemple x2 + y2 − 4x + 6y − 12 = 0 devient (x − 2)2 − 4 + (y + 3)2 − 9 − 12 = 0, donc (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25. Centre (2 ; −3), rayon 5.
Méthode 4À éviter
- Calculer AB avec A − B : les coordonnées sont arrivée moins départ.
- Confondre vecteur directeur (−b ; a) et vecteur normal (a ; b).
- Utiliser la formule xx' + yy' dans un repère non orthonormé.
- Oublier que le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur.
- Conclure « vecteurs orthogonaux donc points perpendiculaires » : ce sont les droites ou segments portés par les vecteurs qui le sont.
- Développer (x − a)2 en x2 − a2.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés