Exercices corrigés — Vecteurs, droites et produit scalaire (Première)

le théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus) donne la longueur du côté opposé à un angle connu : BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(Â).
Avec cos 60° = 12 : BC² = 6² + 9² − 2 × 6 × 9 × 12 = 36 + 81 − 54 = 63.
Donc BC = √63 = √9 × 7 = 3√7 ≈ 7,94.
Origine de la formule : BC = AC − AB, donc BC² = ||AC − AB||² = AC² − 2AB · AC + AB², et AB · AC = AB × AC × cos(Â) = 27. Si l'angle avait été droit, le terme en cosinus aurait disparu : Pythagore est le cas particulier  = 90°.

H est le point de d tel que (PH) soit perpendiculaire à d. Un vecteur normal à d est n = (2 ; −1) : la perpendiculaire à d passant par P est dirigée par n, et ses points s'écrivent H(1 + 2t ; 1 − t) avec t réel.
H appartient à d : 2(1 + 2t) − (1 − t) + 1 = 0, soit 2 + 4t − 1 + t + 1 = 0, c'est-à-dire 5t + 2 = 0 et t = −25.
Donc H(1 − 45 ; 1 + 25) = H(15 ; 75). Vérification : 2 × 15 − 75 + 1 = 25 − 75 + 55 = 0.
La distance de P à la droite est PH = √(15 − 1)² + (75 − 1)² = √1625 + 425 = √2025 = 2√5 ≈ 0,89. Autre méthode : H(x ; 2x + 1) sur d, et PH · (1 ; 2) = 0 (vecteur directeur), qui redonne x = 15.