Exercices corrigés — Vecteurs, droites et produit scalaire (Première)

AB = (3 − (−1) ; 5 − 2) = (4 ; 3) est un vecteur directeur de la droite (AB).
Première méthode : une droite de vecteur directeur (−b ; a) a une équation de la forme ax + by + c = 0. Avec (4 ; 3) = (−b ; a), on prend a = 3 et b = −4 : 3x − 4y + c = 0. A appartient à la droite : 3 × (−1) − 4 × 2 + c = 0, donc c = 11.
Seconde méthode : le vecteur n(3 ; −4) est normal à la droite (3 × 4 + (−4) × 3 = 0), et M(x ; y) est sur la droite si et seulement si n · AM = 0, soit 3(x + 1) − 4(y − 2) = 0.
Dans les deux cas : 3x − 4y + 11 = 0. Vérification avec B : 9 − 20 + 11 = 0. Toute équation proportionnelle, comme −3x + 4y − 11 = 0, convient aussi.

a) AB = (3 ; 2) et AC = (−3 ; −2). Le déterminant det(AB, AC) = 3 × (−2) − 2 × (−3) = −6 + 6 = 0 : les vecteurs sont colinéaires, et l'on voit même AC = −AB. Les points A, B, C sont alignés, et A est le milieu de [BC] (car AC = −AB signifie BA = AC).
b) d a pour vecteur normal (2 ; −3) et d' pour vecteur normal (4 ; −6) = 2 × (2 ; −3). Les vecteurs normaux sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.
Sont-elles confondues ? En multipliant l'équation de d par 2, on obtient 4x − 6y + 2 = 0, dont le membre de gauche est celui de d' mais avec la constante 2 au lieu de 5 : un point de d vérifie 4x − 6y = −2 et ne peut vérifier 4x − 6y = −5.
Les droites sont strictement parallèles. Vérification : le point (1 ; 1) est sur d (2 − 3 + 1 = 0) mais pas sur d' (4 − 6 + 5 = 3 ≠ 0).