Exercices corrigés — Variables aléatoires (Première)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Maîtrise ». Voir les 8 exercices.

Exercice 5 Maîtrise

On pose Y = −3X + 5, avec E(X) = 4 et V(X) = 2. Calculer E(Y), V(Y) et σ(Y).

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Correction détaillée

pour Y = aX + b, on a E(Y) = aE(X) + b, V(Y) = a²V(X) et σ(Y) = |a|σ(X). Ici a = −3 et b = 5.
E(Y) = −3 × 4 + 5 = −7.
V(Y) = (−3)² × 2 = 9 × 2 = 18. La constante 5 n'intervient pas : ajouter 5 décale toutes les valeurs sans changer leur dispersion ; le coefficient −3 est élevé au carré, si bien que le signe disparaît.
σ(Y) = √18 = 3√2 ≈ 4,24. On retrouve σ(Y) = |−3| × σ(X) = 3√2, puisque σ(X) = √2. Erreur classique : écrire V(Y) = −3 × 2 = −6, alors qu'une variance est toujours positive ou nulle.

Exercice 6 Maîtrise

Deux placements sont proposés. Le placement A rapporte 10 € à coup sûr. Le placement B rapporte 0 € ou 20 € avec la même probabilité 12. On note X et Y les gains respectifs. a) Calculer E(X) et E(Y). b) Calculer σ(X) et σ(Y). c) Que traduisent ces résultats ?

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Correction détaillée

a) X est constante : E(X) = 10 €. E(Y) = 0 × 12 + 20 × 12 = 10 €. Les deux placements ont la même espérance de gain.
b) V(X) = 0, car X ne s'écarte jamais de sa moyenne : σ(X) = 0. Pour Y : E(Y²) = 0 × 12 + 400 × 12 = 200, donc V(Y) = 200 − 10² = 100 et σ(Y) = 10 €.
c) L'espérance ne distingue pas les deux placements, mais l'écart type mesure le risque : le placement A est sans risque, le placement B s'écarte en moyenne de 10 € de sa valeur moyenne, il peut ne rien rapporter comme rapporter le double.
Selon les préférences, on choisira la sécurité (A) ou l'incertitude (B) ; en mathématiques, on dit que les deux variables ont la même espérance mais des dispersions différentes. Comparer deux variables aléatoires demande toujours au moins ces deux indicateurs.

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