Exercices corrigés — Variables aléatoires (Première)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Application ». Voir les 8 exercices.

Exercice 3 Application

Avec la loi de l'exercice 1 (0 point avec 0,4 ; 2 points avec 0,35 ; 6 points avec 0,25), calculer la variance et l'écart type de X.

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Correction détaillée

on utilise la formule de König-Huygens V(X) = E(X²) − [E(X)]², avec E(X) = 2,2.
E(X²) = 0² × 0,4 + 2² × 0,35 + 6² × 0,25 = 0 + 1,4 + 9 = 10,4. Attention : E(X²) = 10,4 n'est pas [E(X)]² = 4,84.
V(X) = 10,4 − 2,2² = 10,4 − 4,84 = 5,56, et σ(X) = √5,56 ≈ 2,36 points.
Vérification par la définition : V(X) = 0,4(0 − 2,2)² + 0,35(2 − 2,2)² + 0,25(6 − 2,2)² = 0,4 × 4,84 + 0,35 × 0,04 + 0,25 × 14,44 = 1,936 + 0,014 + 3,61 = 5,56. L'écart type, environ 2,4 points, mesure la dispersion typique des résultats autour de la moyenne 2,2.

Exercice 4 Application

On lance un dé équilibré. Le joueur reçoit 5 € si le 6 sort, 1 € si un autre nombre pair sort, et rien sinon. Pour jouer, il paie une mise m. On note G son gain net (somme reçue moins la mise). a) Exprimer E(G) en fonction de m. b) Pour quelle mise le jeu est-il équitable ? c) Le jeu est-il favorable au joueur pour une mise de 1 € ?

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Correction détaillée

a) La somme reçue X vaut 5 avec probabilité 16 (face 6), 1 avec probabilité 26 (faces 2 et 4) et 0 avec probabilité 36 (faces 1, 3, 5). E(X) = 5 × 16 + 1 × 26 + 0 × 36 = 76 ≈ 1,17 €.
Le gain net est G = X − m, et par linéarité E(G) = E(X) − m = 76 − m.
b) Le jeu est équitable lorsque l'espérance du gain net est nulle : 76 − m = 0, soit m = 76 ≈ 1,17 €. Avec cette mise, ni le joueur ni l'organisateur ne gagne en moyenne sur le long terme.
c) Pour m = 1 €, E(G) = 76 − 1 = 16 ≈ 0,17 € > 0 : le jeu est favorable au joueur, qui gagne en moyenne 17 centimes par partie. Cela ne garantit rien sur une partie donnée : il perd sa mise une fois sur deux.

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