Exercices corrigés — Variables aléatoires (Première)

la moyenne d'un échantillon de taille n d'observations indépendantes est centrée sur μ et a pour écart type σ√n (résultat admis en Première).
Ici √225 = 15, donc l'écart type de la moyenne vaut 1515 = 1. Il est quinze fois plus petit que l'écart type d'une observation isolée : moyenner réduit la dispersion.
La zone à deux écarts types est [μ − 2 × 1 ; μ + 2 × 1] = [118 ; 122].
Interprétation : si l'on simule un grand nombre d'échantillons de taille 225, la grande majorité des moyennes obtenues (environ 95 % dans les situations usuelles) tombe entre 118 et 122. Une moyenne observée de 125 serait donc surprenante et inviterait à vérifier le protocole ou l'hypothèse μ = 120.

la demi-largeur de la zone à deux écarts types est 2σ/√n = 30√n.
On veut 30√n ≤ 1, soit √n ≥ 30. Les deux membres étant positifs, on peut élever au carré : n ≥ 900.
Il faut au minimum 900 observations. Vérification : pour n = 900, l'écart type de la moyenne vaut 1530 = 0,5 et la zone est [120 − 1 ; 120 + 1] = [119 ; 121].
Comparaison avec l'exercice précédent : passer d'une demi-largeur 2 (n = 225) à une demi-largeur 1 (n = 900) a demandé de multiplier la taille par 4, parce que la précision s'améliore comme √n : diviser l'incertitude par 2 coûte quatre fois plus d'observations.