Exercices corrigés — Variables aléatoires (Première)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Découverte ». Voir les 8 exercices.

Exercice 1 Découverte

Une roue de loterie donne 0 point avec probabilité 0,4, 2 points avec probabilité 0,35 et 6 points sinon. On note X le nombre de points obtenus. Déterminer la loi de X et son espérance.

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Correction détaillée

la somme des probabilités d'une loi vaut 1, donc P(X = 6) = 1 − 0,4 − 0,35 = 0,25.

x	0	2	6
P(X = x)	0,4	0,35	0,25

E(X) = 0 × 0,4 + 2 × 0,35 + 6 × 0,25 = 0 + 0,7 + 1,5 = 2,2 points.
Interprétation : sur un grand nombre de parties, le nombre moyen de points par partie se rapproche de 2,2. Ce n'est pas une valeur possible de X (on obtient 0, 2 ou 6, jamais 2,2) : l'espérance est une moyenne théorique, pas un résultat garanti.

Exercice 2 Découverte

Un sac contient 3 jetons rouges et 2 jetons verts. On tire deux jetons successivement, sans remise. On note X le nombre de jetons rouges obtenus. a) Déterminer la loi de X à l'aide d'un arbre. b) Calculer E(X).

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Correction détaillée

a) Premier tirage : rouge (R) avec probabilité 35, vert (V) avec 25. Second tirage sans remise : après R, il reste 2 rouges et 2 verts, donc R avec 24 et V avec 24 ; après V, il reste 3 rouges et 1 vert, donc R avec 34 et V avec 14.
Chemins : RR donne X = 2, de probabilité 35 × 24 = 620 ; RV et VR donnent X = 1, de probabilités 35 × 24 = 620 et 25 × 34 = 620 ; VV donne X = 0, de probabilité 25 × 14 = 220.

x	0	1	2
P(X = x)	220 = 0,1	1220 = 0,6	620 = 0,3

Vérification : 0,1 + 0,6 + 0,3 = 1.
b) E(X) = 0 × 0,1 + 1 × 0,6 + 2 × 0,3 = 1,2. En moyenne, on tire 1,2 jeton rouge sur deux, ce qui est cohérent avec la proportion 35 de rouges : 2 × 35 = 1,2.

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