Variables aléatoires — cours de Première
Variable aléatoire réelle et loi, Espérance, Variance et écart type, Indicateurs d'une série statistique Lecture ≈ 5 min.
1. Variable aléatoire réelle et loi
Sur un univers fini Ω, une variable aléatoire réelle X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue ω ∈ Ω. La loi de probabilité de X donne ses valeurs possibles x1, ..., xk et les probabilités P(X = xi). La somme de ces probabilités vaut 1.
{X = a} désigne l'ensemble des issues ω telles que X(ω) = a. De même, {X ≤ a} rassemble les issues telles que X(ω) ≤ a. On écrit leurs probabilités P(X = a) et P(X ≤ a). Les accolades peuvent être omises dans cette notation probabiliste, mais l'objet intérieur reste un événement.
On lance un dé équilibré. Le joueur gagne 5 € si le résultat est 6, gagne 1 € si le résultat est pair mais différent de 6, et perd 2 € sinon. Le gain X a pour loi :
| x | −2 | 1 | 5 |
|---|---|---|---|
| P(X = x) | 36 | 26 | 16 |
Les événements ont été regroupés par gain, et 36 + 26 + 16 = 1.
Pour la loi précédente, {X ≤ 1} regroupe les gains −2 et 1. Ainsi P(X ≤ 1) = P(X = −2) + P(X = 1) = 36 + 26 = 56. En revanche P(X < 1) = P(X = −2) = 12 : une inégalité stricte peut changer le résultat.
- Décrire les issues ou chemins de l'expérience.
- Calculer la valeur de X pour chaque issue.
- Regrouper les issues donnant la même valeur.
- Additionner leurs probabilités et vérifier que le total vaut 1.
2. Espérance
L'espérance de X est
E(X) = x1P(X = x1) + ··· + xkP(X = xk).
Elle représente la valeur moyenne théorique obtenue sur un grand nombre de répétitions indépendantes. Elle n'est pas nécessairement une valeur possible de X.
Pour le jeu précédent, E(X) = (−2)(36) + 1(26) + 5(16) = 16 €. Sur un grand nombre de parties, le gain moyen tend à se rapprocher d'environ 0,17 € par partie.
Pour des variables aléatoires X et Y admettant une espérance et des réels a, b, c :
E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c.
En particulier E(aX + b) = aE(X) + b. L'indépendance n'est pas nécessaire pour additionner les espérances.
Le gain net Y est obtenu en doublant un gain X puis en payant 3 € : Y = 2X − 3. Si E(X) = 1,4, alors E(Y) = 2 × 1,4 − 3 = −0,2.
3. Variance et écart type
La variance mesure la dispersion autour de l'espérance μ = E(X) :
V(X) = E[(X − μ)2] = ∑ P(X = xi)(xi − μ)2.
L'écart type est σ(X) = √V(X). La variance est en unités au carré ; l'écart type possède la même unité que X.
V(X) = E(X2) − [E(X)]2.
En posant μ = E(X), on développe :
E[(X − μ)2] = E(X2 − 2μX + μ2) = E(X2) − 2μE(X) + μ2 = E(X2) − μ2.
V(aX + b) = a2V(X), σ(aX + b) = |a|σ(X).
Ajouter une constante déplace toutes les valeurs sans changer leur dispersion.
Soit X de loi suivante :
| x | 0 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| P(X = x) | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
- E(X) = 0 × 0,3 + 2 × 0,5 + 5 × 0,2 = 2.
- E(X2) = 0 + 4 × 0,5 + 25 × 0,2 = 7.
- V(X) = 7 − 22 = 3.
- σ(X) = √3 ≈ 1,73.
4. Indicateurs d'une série statistique
Dans une série, la moyenne pondérée vaut ∑nixi/N. En remplaçant les fréquences ni/N par des probabilités, on retrouve l'espérance. La variance statistique est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Médiane et quartiles décrivent la position ; étendue et écart type décrivent la dispersion.
Comparer d'abord leurs centres (moyenne, médiane), puis leur dispersion (écart type, écart interquartile). Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais des régularités très différentes.
5. Moyenne d'échantillon et expérimentations
Un échantillon de taille n est une collection de n observations obtenues dans des conditions identiques. Sa moyenne est elle-même variable d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage.
Lorsque les observations sont indépendantes, de même loi, d'espérance μ et d'écart type σ, la moyenne d'échantillon est centrée autour de μ et son écart type vaut σ√n. Ce résultat est admis en Première ; sa démonstration générale dépasse le cadre du cours. Une zone de fluctuation couramment observée est donc approximativement
[μ − 2σ/√n ; μ + 2σ/√n].
Cette règle expérimentale donne un repère, pas une certitude absolue. Quand n est multiplié par 4, la largeur typique est divisée par 2.
Une mesure a pour moyenne théorique 50 et écart type 6. Pour des échantillons de taille 100, l'écart type des moyennes vaut 6√100 = 0,6. La zone à deux écarts types est [50 − 1,2 ; 50 + 1,2] = [48,8 ; 51,2]. Une simulation de nombreux échantillons doit produire une grande majorité de moyennes dans cette zone.
- Simuler une observation selon la loi de X.
- Répéter n fois et calculer la moyenne de la liste obtenue.
- Répéter l'échantillon un grand nombre de fois.
- Visualiser les moyennes et calculer la proportion située à distance au plus 2σ/√n de μ.
- Faire varier n pour observer la concentration.
6. Erreurs fréquentes
- Oublier de vérifier que les probabilités d'une loi totalisent 1.
- Confondre E(X2) avec [E(X)]2.
- Donner une variance négative : une variance est toujours positive ou nulle.
- Interpréter l'espérance comme un gain garanti à chaque partie.
- Multiplier l'écart type par a au lieu de |a| pour a négatif.
- Utiliser 2σ/n au lieu de 2σ/√n pour les moyennes d'échantillons.