Exercices corrigés — Variables aléatoires (Première)

la somme des probabilités d'une loi vaut 1, donc P(X = 6) = 1 − 0,4 − 0,35 = 0,25.

a) Premier tirage : rouge (R) avec probabilité 35, vert (V) avec 25. Second tirage sans remise : après R, il reste 2 rouges et 2 verts, donc R avec 24 et V avec 24 ; après V, il reste 3 rouges et 1 vert, donc R avec 34 et V avec 14.
Chemins : RR donne X = 2, de probabilité 35 × 24 = 620 ; RV et VR donnent X = 1, de probabilités 35 × 24 = 620 et 25 × 34 = 620 ; VV donne X = 0, de probabilité 25 × 14 = 220.

on utilise la formule de König-Huygens V(X) = E(X²) − [E(X)]², avec E(X) = 2,2.
E(X²) = 0² × 0,4 + 2² × 0,35 + 6² × 0,25 = 0 + 1,4 + 9 = 10,4. Attention : E(X²) = 10,4 n'est pas [E(X)]² = 4,84.
V(X) = 10,4 − 2,2² = 10,4 − 4,84 = 5,56, et σ(X) = √5,56 ≈ 2,36 points.
Vérification par la définition : V(X) = 0,4(0 − 2,2)² + 0,35(2 − 2,2)² + 0,25(6 − 2,2)² = 0,4 × 4,84 + 0,35 × 0,04 + 0,25 × 14,44 = 1,936 + 0,014 + 3,61 = 5,56. L'écart type, environ 2,4 points, mesure la dispersion typique des résultats autour de la moyenne 2,2.

a) La somme reçue X vaut 5 avec probabilité 16 (face 6), 1 avec probabilité 26 (faces 2 et 4) et 0 avec probabilité 36 (faces 1, 3, 5). E(X) = 5 × 16 + 1 × 26 + 0 × 36 = 76 ≈ 1,17 €.
Le gain net est G = X − m, et par linéarité E(G) = E(X) − m = 76 − m.
b) Le jeu est équitable lorsque l'espérance du gain net est nulle : 76 − m = 0, soit m = 76 ≈ 1,17 €. Avec cette mise, ni le joueur ni l'organisateur ne gagne en moyenne sur le long terme.
c) Pour m = 1 €, E(G) = 76 − 1 = 16 ≈ 0,17 € > 0 : le jeu est favorable au joueur, qui gagne en moyenne 17 centimes par partie. Cela ne garantit rien sur une partie donnée : il perd sa mise une fois sur deux.

pour Y = aX + b, on a E(Y) = aE(X) + b, V(Y) = a²V(X) et σ(Y) = |a|σ(X). Ici a = −3 et b = 5.
E(Y) = −3 × 4 + 5 = −7.
V(Y) = (−3)² × 2 = 9 × 2 = 18. La constante 5 n'intervient pas : ajouter 5 décale toutes les valeurs sans changer leur dispersion ; le coefficient −3 est élevé au carré, si bien que le signe disparaît.
σ(Y) = √18 = 3√2 ≈ 4,24. On retrouve σ(Y) = |−3| × σ(X) = 3√2, puisque σ(X) = √2. Erreur classique : écrire V(Y) = −3 × 2 = −6, alors qu'une variance est toujours positive ou nulle.

a) X est constante : E(X) = 10 €. E(Y) = 0 × 12 + 20 × 12 = 10 €. Les deux placements ont la même espérance de gain.
b) V(X) = 0, car X ne s'écarte jamais de sa moyenne : σ(X) = 0. Pour Y : E(Y²) = 0 × 12 + 400 × 12 = 200, donc V(Y) = 200 − 10² = 100 et σ(Y) = 10 €.
c) L'espérance ne distingue pas les deux placements, mais l'écart type mesure le risque : le placement A est sans risque, le placement B s'écarte en moyenne de 10 € de sa valeur moyenne, il peut ne rien rapporter comme rapporter le double.
Selon les préférences, on choisira la sécurité (A) ou l'incertitude (B) ; en mathématiques, on dit que les deux variables ont la même espérance mais des dispersions différentes. Comparer deux variables aléatoires demande toujours au moins ces deux indicateurs.

la moyenne d'un échantillon de taille n d'observations indépendantes est centrée sur μ et a pour écart type σ√n (résultat admis en Première).
Ici √225 = 15, donc l'écart type de la moyenne vaut 1515 = 1. Il est quinze fois plus petit que l'écart type d'une observation isolée : moyenner réduit la dispersion.
La zone à deux écarts types est [μ − 2 × 1 ; μ + 2 × 1] = [118 ; 122].
Interprétation : si l'on simule un grand nombre d'échantillons de taille 225, la grande majorité des moyennes obtenues (environ 95 % dans les situations usuelles) tombe entre 118 et 122. Une moyenne observée de 125 serait donc surprenante et inviterait à vérifier le protocole ou l'hypothèse μ = 120.

la demi-largeur de la zone à deux écarts types est 2σ/√n = 30√n.
On veut 30√n ≤ 1, soit √n ≥ 30. Les deux membres étant positifs, on peut élever au carré : n ≥ 900.
Il faut au minimum 900 observations. Vérification : pour n = 900, l'écart type de la moyenne vaut 1530 = 0,5 et la zone est [120 − 1 ; 120 + 1] = [119 ; 121].
Comparaison avec l'exercice précédent : passer d'une demi-largeur 2 (n = 225) à une demi-largeur 1 (n = 900) a demandé de multiplier la taille par 4, parce que la précision s'améliore comme √n : diviser l'incertitude par 2 coûte quatre fois plus d'observations.