Variables aléatoires — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 11 points à retenir et 4 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Variable aléatoire réelle et loi
Définition
Sur un univers fini Ω, une variable aléatoire réelle X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue ω ∈ Ω. La loi de probabilité de X donne ses valeurs possibles x1, ..., xk et les probabilités P(X = xi). La somme de ces probabilités vaut 1.
Événements définis par X
{X = a} désigne l'ensemble des issues ω telles que X(ω) = a. De même, {X ≤ a} rassemble les issues telles que X(ω) ≤ a. On écrit leurs probabilités P(X = a) et P(X ≤ a). Les accolades peuvent être omises dans cette notation probabiliste, mais l'objet intérieur reste un événement.
2. Espérance
Définition
L'espérance de X est
E(X) = x1P(X = x1) + ··· + xkP(X = xk).
Elle représente la valeur moyenne théorique obtenue sur un grand nombre de répétitions indépendantes. Elle n'est pas nécessairement une valeur possible de X.
Linéarité de l'espérance
Pour des variables aléatoires X et Y admettant une espérance et des réels a, b, c :
E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c.
En particulier E(aX + b) = aE(X) + b. L'indépendance n'est pas nécessaire pour additionner les espérances.
3. Variance et écart type
Définitions
La variance mesure la dispersion autour de l'espérance μ = E(X) :
V(X) = E[(X − μ)2] = ∑ P(X = xi)(xi − μ)2.
L'écart type est σ(X) = √V(X). La variance est en unités au carré ; l'écart type possède la même unité que X.
Formule de KönigHuygens
V(X) = E(X2) − [E(X)]2.
Démonstration
En posant μ = E(X), on développe :
E[(X − μ)2] = E(X2 − 2μX + μ2) = E(X2) − 2μE(X) + μ2 = E(X2) − μ2.
Transformation affine
V(aX + b) = a2V(X), σ(aX + b) = |a|σ(X).
Ajouter une constante déplace toutes les valeurs sans changer leur dispersion.
4. Indicateurs d'une série statistique
Rappels et lien probabiliste
Dans une série, la moyenne pondérée vaut ∑nixi/N. En remplaçant les fréquences ni/N par des probabilités, on retrouve l'espérance. La variance statistique est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Médiane et quartiles décrivent la position ; étendue et écart type décrivent la dispersion.
5. Moyenne d'échantillon et expérimentations
Échantillon
Un échantillon de taille n est une collection de n observations obtenues dans des conditions identiques. Sa moyenne est elle-même variable d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage.
Ordre de grandeur de la fluctuation
Lorsque les observations sont indépendantes, de même loi, d'espérance μ et d'écart type σ, la moyenne d'échantillon est centrée autour de μ et son écart type vaut σ√n. Ce résultat est admis en Première ; sa démonstration générale dépasse le cadre du cours. Une zone de fluctuation couramment observée est donc approximativement
[μ − 2σ/√n ; μ + 2σ/√n].
Cette règle expérimentale donne un repère, pas une certitude absolue. Quand n est multiplié par 4, la largeur typique est divisée par 2.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Construire une loi
- Décrire les issues ou chemins de l'expérience.
- Calculer la valeur de X pour chaque issue.
- Regrouper les issues donnant la même valeur.
- Additionner leurs probabilités et vérifier que le total vaut 1.
Méthode 2Comparer deux séries
Comparer d'abord leurs centres (moyenne, médiane), puis leur dispersion (écart type, écart interquartile). Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais des régularités très différentes.
Méthode 3Expérimentation numérique
- Simuler une observation selon la loi de X.
- Répéter n fois et calculer la moyenne de la liste obtenue.
- Répéter l'échantillon un grand nombre de fois.
- Visualiser les moyennes et calculer la proportion située à distance au plus 2σ/√n de μ.
- Faire varier n pour observer la concentration.
Méthode 4À éviter
- Oublier de vérifier que les probabilités d'une loi totalisent 1.
- Confondre E(X2) avec [E(X)]2.
- Donner une variance négative : une variance est toujours positive ou nulle.
- Interpréter l'espérance comme un gain garanti à chaque partie.
- Multiplier l'écart type par a au lieu de |a| pour a négatif.
- Utiliser 2σ/n au lieu de 2σ/√n pour les moyennes d'échantillons.
Le cours en détail, avec les exemples → 8 exercices corrigés