Exercices corrigés — Suites numériques (Première)

a) Pour une suite géométrique, v₅ = v₂ × q³, donc q³ = 9612 = 8. Le seul réel positif dont le cube vaut 8 est q = 2 (la raison est positive car les termes le sont). Puis v₀ = v₂q² = 124 = 3.
b) v_n = v₀ × qⁿ = 3 × 2ⁿ. Vérification : v₂ = 3 × 4 = 12 et v₅ = 3 × 32 = 96.
c) 3 × 2ⁿ > 10 000 équivaut à 2ⁿ > 3 333,3… Les puissances de 2 augmentent : 2¹¹ = 2 048 < 3 333 et 2¹² = 4 096 > 3 333.
Le plus petit entier qui convient est n = 12 : v₁₂ = 3 × 4 096 = 12 288 > 10 000, alors que v₁₁ = 6 144 < 10 000. En Terminale, le logarithme donnera directement n > ln(3 333,3)ln 2 ≈ 11,7.

augmenter de 12 %, c'est multiplier par 1 + 12100 = 1,12. La population P_n après n heures vérifie P_n+1 = 1,12P_n : c'est une suite géométrique de premier terme P₀ = 50 000 et de raison 1,12.
Donc P_n = 50 000 × 1,12ⁿ.
Après 10 heures : P₁₀ = 50 000 × 1,12¹⁰ ≈ 50 000 × 3,1058 ≈ 155 292 bactéries.
La population a été multipliée par environ 3,1 en 10 heures, et non par 2,2 comme le suggérerait une addition de 10 fois 12 % : les pourcentages successifs se composent en se multipliant. Chaque heure, l'augmentation porte sur une population plus grande.