Exercices corrigés — Suites numériques (Première)

a) On applique la relation de récurrence de proche en proche : u₁ = 2 × 1 + 3 = 5 ; u₂ = 2 × 5 + 3 = 13 ; u₃ = 2 × 13 + 3 = 29 ; u₄ = 2 × 29 + 3 = 61.
b) Les différences entre termes consécutifs valent 4, 8, 16, 32 : elles ne sont pas constantes, la suite n'est pas arithmétique. Les quotients valent 5, 2,6, 2913 ≈ 2,23, 6129 ≈ 2,10 : ils ne sont pas constants, la suite n'est pas géométrique.
c) Les termes calculés augmentent : on conjecture que la suite est croissante. Pour le justifier, u_n+1 − u_n = 2u_n + 3 − u_n = u_n + 3. Tous les termes sont positifs (u₀ = 1 > 0, et si un terme est positif, le suivant 2u_n + 3 le reste), donc u_n + 3 > 0 : la suite est strictement croissante.
Remarque : les différences 4, 8, 16, 32 doublent à chaque rang, ce qui suggère que u_n + 3 est géométrique de raison 2 ; en effet u_n = 2ⁿ⁺² − 3 (vérification : 2² − 3 = 1, 2³ − 3 = 5).

u₀ = 0 − 0 + 1 = 1 et u₃ = 2 × 9 − 15 + 1 = 18 − 15 + 1 = 4.
Pour les variations, on étudie le signe de u_n+1 − u_n. On a u_n+1 = 2(n + 1)² − 5(n + 1) + 1 = 2n² + 4n + 2 − 5n − 5 + 1 = 2n² − n − 2.
Donc u_n+1 − u_n = (2n² − n − 2) − (2n² − 5n + 1) = 4n − 3.
Pour n ≥ 1, 4n − 3 ≥ 1 > 0 : la suite est strictement croissante à partir du rang 1. Attention, entre les rangs 0 et 1 elle décroît : u₁ = 2 − 5 + 1 = −2 < u₀ = 1, ce qui correspond à 4 × 0 − 3 < 0. D'où la précision « à partir du rang 1 » dans l'énoncé.