Exercices corrigés — Suites numériques (Première)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Application ». Voir les 8 exercices.

Exercice 3 Application

(u_n) est une suite arithmétique telle que u₃ = 11 et u₇ = 23. a) Déterminer sa raison r et son premier terme u₀. b) Exprimer u_n en fonction de n. c) Calculer la somme S = u₀ + u₁ + … + u₁₄.

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Correction détaillée

a) Pour une suite arithmétique, u_n = u_p + (n − p)r. Donc u₇ = u₃ + 4r, soit 23 = 11 + 4r, d'où 4r = 12 et r = 3. Puis u₀ = u₃ − 3r = 11 − 9 = 2.
b) u_n = u₀ + nr = 2 + 3n. Vérification : u₃ = 2 + 9 = 11 et u₇ = 2 + 21 = 23.
c) La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut (nombre de termes) × premier + dernier2. De u₀ à u₁₄, il y a 15 termes (et non 14 : de 0 à 14 inclus), et u₁₄ = 2 + 42 = 44.
S = 15 × 2 + 442 = 15 × 23 = 345. Contrôle : le terme « du milieu », u₇ = 23, est la moyenne des termes, et 15 × 23 = 345.

Exercice 4 Application

Une salle possède 18 sièges au premier rang et chaque rang suivant en comporte 3 de plus que le précédent. Il y a 20 rangs. Combien de sièges la salle contient-elle ?

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Correction détaillée

le nombre de sièges du rang numéro n + 1 (le premier rang correspondant à n = 0) forme une suite arithmétique de premier terme u₀ = 18 et de raison r = 3, puisqu'on ajoute la même quantité à chaque rang. Donc u_n = 18 + 3n.
Le 20^e rang correspond à n = 19 : u₁₉ = 18 + 3 × 19 = 18 + 57 = 75 sièges.
Le nombre total de sièges est la somme des 20 termes u₀ + u₁ + … + u₁₉ = 20 × premier + dernier2 = 20 × 18 + 752 = 20 × 46,5 = 930.
La salle contient 930 sièges. Vérification par un autre chemin : 20 rangs de 18 sièges donnent 360, auxquels s'ajoutent 3 × (0 + 1 + … + 19) = 3 × 190 = 570 sièges supplémentaires, et 360 + 570 = 930.

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