Suites numériques — cours de Première
Définir et représenter une suite, Sens de variation, Suites arithmétiques, Sommes de termes arithmétiques Lecture ≈ 9 min.
1. Définir et représenter une suite
Une suite numérique est une fonction définie sur ℕ, ou sur une partie de ℕ. À chaque rang entier n, elle associe un réel noté un. Le nombre un est le terme de rang n.
- Forme explicite : un est directement exprimé en fonction de n, par exemple un = 3n2 − 1.
- Définition par récurrence : on donne un terme initial et une relation permettant de calculer un terme à partir d'un ou plusieurs précédents, par exemple u0 = 2 et un+1 = 0,5un + 3.
- u(n) et un désignent tous deux le terme de rang n.
- (u(n))n∈ℕ ou (un)n∈ℕ désigne la suite entière.
- Les parenthèses autour de (un) ne signifient donc pas un calcul : elles regroupent tous les termes.
Soit un = n2 − 2n + 4, définie pour n ∈ ℕ. Alors :
u0 = 4 ; u1 = 1 − 2 + 4 = 3 ; u5 = 25 − 10 + 4 = 19. Attention : un+1 = (n + 1)2 − 2(n + 1) + 4 = n2 + 3, et non un + 1.
Pour v0 = 10 et vn+1 = 0,8vn + 5 :
v1 = 0,8 × 10 + 5 = 13 ; v2 = 0,8 × 13 + 5 = 15,4 ; v3 = 0,8 × 15,4 + 5 = 17,32.
Dans un repère, une suite est représentée par les points de coordonnées (n ; un). Les abscisses sont entières : on obtient un nuage de points, et non une courbe continue. Pour une suite récurrente un+1 = f(un), une construction en escalier entre la courbe y = f(x) et la droite y = x permet de visualiser les termes.
Le motif de rang 0 est un carré formé de 4 allumettes. À chaque rang, on ajoute un carré partageant un côté avec le précédent : seuls 3 segments nouveaux sont nécessaires. Si un désigne le nombre d'allumettes au rang n, alors u0 = 4 et un+1 = un + 3. La suite est arithmétique et un = 4 + 3n. Au rang 20, il faut 64 allumettes. Cet exemple montre comment une suite traduit un dénombrement évolutif.
2. Sens de variation
Une suite (un) est croissante si, pour tout rang n, un+1 ≥ un. Elle est décroissante si un+1 ≤ un. Les inégalités strictes définissent une suite strictement croissante ou décroissante.
On calcule un+1 − un. Si cette différence est positive pour tout n, la suite est croissante ; si elle est négative, elle est décroissante.
Pour un = n2 + 3n :
un+1 − un = [(n + 1)2 + 3(n + 1)] − (n2 + 3n) = 2n + 4.
Pour tout n ∈ ℕ, 2n + 4 > 0. La suite est donc strictement croissante.
Lorsque tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer un+1/un à 1. Un quotient supérieur à 1 indique une croissance. Cette méthode est particulièrement adaptée aux suites géométriques positives.
Si un = f(n) et si f est croissante sur [0 ; +∞[, alors la suite est croissante. La réciproque est fausse : une suite peut être croissante aux rangs entiers alors que la fonction fluctue entre ces rangs.
3. Suites arithmétiques
Une suite est arithmétique s'il existe un réel r, appelé raison, tel que, pour tout n,
un+1 = un + r.
On ajoute donc toujours la même quantité. La différence de deux termes consécutifs est constante.
Si le terme initial est u0, alors un = u0 + nr. Plus généralement, pour deux rangs p et n,
un = up + (n − p)r.
À partir de up, on écrit successivement up+1 = up + r, puis up+2 = up+1 + r = up + 2r. Si n ≥ p, on effectue exactement n − p ajouts de r, d'où un = up + (n − p)r. Si n < p, on remonte la suite en soustrayant r et l'on obtient la même formule. Cette preuve par itération suffit ici ; la récurrence formelle sera étudiée en Terminale.
Une suite arithmétique est strictement croissante si r > 0, constante si r = 0 et strictement décroissante si r < 0.
Une suite arithmétique vérifie u4 = 17 et u11 = 45. Alors 45 = 17 + (11 − 4)r, donc 7r = 28 et r = 4. Ainsi u0 = u4 − 4r = 1 et un = 1 + 4n.
4. Sommes de termes arithmétiques
La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique est :
nombre de termes × premier terme + dernier terme2.
En particulier, 1 + 2 + ··· + n = nn + 12.
Notons S = 1 + 2 + ··· + (n − 1) + n. Écrivons la même somme en sens inverse : S = n + (n − 1) + ··· + 2 + 1. En additionnant colonne par colonne, chacune des n colonnes vaut n + 1. Donc 2S = n(n + 1), d'où S = nn + 12. Le même appariement fonctionne avec un premier et un dernier terme quelconques.
Calculer S = u5 + u6 + ··· + u20 pour un = 3n − 2.
- Il y a 20 − 5 + 1 = 16 termes.
- u5 = 13 et u20 = 58.
- S = 16 × 13 + 582 = 8 × 71 = 568.
5. Suites géométriques
Une suite est géométrique s'il existe un réel q, appelé raison, tel que
un+1 = qun.
On multiplie toujours par le même nombre. Lorsque les termes sont non nuls, le quotient de deux termes consécutifs est constant.
Si le terme initial est u0, alors un = u0qn. Plus généralement :
un = upqn−p.
Cette écriture est toujours valable pour n ≥ p. Si n < p, elle suppose q ≠ 0 afin que les puissances d'exposant négatif soient définies.
On a up+1 = q up, puis up+2 = q up+1 = q2up. Après n − p multiplications par q, un = upqn−p. Le cas n < p se lit en sens inverse lorsque q ≠ 0.
Si u0 > 0 : la suite est strictement croissante lorsque q > 1, constante lorsque q = 1, strictement décroissante lorsque 0 < q < 1. Si q < 0, les signes alternent en général et la suite n'est ni croissante ni décroissante. Il faut traiter séparément le cas u0 < 0.
Un capital de 2 000 € augmente de 3 % par an. Si Cn est le capital après n années, alors C0 = 2 000 et Cn+1 = 1,03Cn. Donc Cn = 2 000 × 1,03n. Après 8 ans : C8 ≈ 2 533,54 €.
6. Sommes de termes géométriques
Pour q ≠ 1 :
1 + q + q2 + ··· + qn = 1 − qn+11 − q.
Une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique est donc :
premier terme × [1 − raisonnombre de termes] / (1 − raison).
Si q = 1, la somme vaut simplement nombre de termes × premier terme.
Posons S = 1 + q + ··· + qn. Alors qS = q + q2 + ··· + qn+1. En soustrayant, S − qS = 1 − qn+1. Ainsi (1 − q)S = 1 − qn+1, puis on divise par 1 − q, qui est non nul.
Calculer S = 5 + 5 × 0,8 + ··· + 5 × 0,89.
Il y a 10 termes, le premier vaut 5 et la raison 0,8. Donc S = 51 − 0,8101 − 0,8 ≈ 22,3156.
7. Modéliser une évolution discrète
- Une augmentation ou diminution d'une même quantité à chaque étape conduit à une suite arithmétique.
- Une évolution d'un même pourcentage conduit à une suite géométrique. Une hausse de t % a pour coefficient 1 + t100 ; une baisse de t % a pour coefficient 1 − t100.
- Un modèle un+1 = aun + b n'est en général ni arithmétique ni géométrique. On peut toutefois rechercher une valeur d'équilibre ℓ telle que ℓ = aℓ + b.
Une réserve contient u0 = 100 L. Chaque jour, 20 % du contenu s'évapore puis on ajoute 10 L : un+1 = 0,8un + 10.
- La valeur d'équilibre vérifie ℓ = 0,8ℓ + 10, donc ℓ = 50.
- Posons vn = un − 50. Alors vn+1 = 0,8un + 10 − 50 = 0,8(un − 50) = 0,8vn.
- (vn) est géométrique, avec v0 = 50, donc vn = 50 × 0,8n.
- Ainsi un = 50 + 50 × 0,8n.
Cette transformation est un approfondissement utile ; savoir calculer les termes et interpréter l'équilibre reste prioritaire.
8. Intuition de limite, sans formalisation
On observe les valeurs d'une suite pour de grands rangs afin de conjecturer son comportement : les termes peuvent grandir sans borne, décroître sans borne, se rapprocher d'un nombre, osciller ou ne présenter aucun comportement simple. En Première, on développe cette intuition à partir de tables, graphiques et algorithmes ; la définition formelle d'une limite et les preuves associées relèvent de la Terminale.
- Pour q > 1, les puissances qn deviennent arbitrairement grandes.
- Pour 0 < q < 1, qn se rapproche de 0.
- Pour q = −1, la suite alterne entre 1 et −1 et ne se rapproche pas d'un nombre unique.
Ces faits servent ici à interpréter et conjecturer, sans exiger les démonstrations de Terminale.
Dans le modèle précédent, 0,8n se rapproche de 0. La formule un = 50 + 50 × 0,8n suggère donc que le volume se rapproche de 50 L. Un programme peut chercher le premier rang où |un − 50| < 0,01.
9. Erreurs fréquentes
- Confondre rang et terme : u5 est un nombre, pas forcément le cinquième terme si la suite commence à u0.
- Lire un+1 comme un + 1.
- Utiliser un = u0 + nr pour une suite géométrique, ou u0qn pour une suite arithmétique.
- Oublier le « +1 » dans le nombre de termes du rang p au rang n : il y en a n − p + 1.
- Transformer une baisse de 20 % en multiplication par 0,20 : le bon coefficient est 0,80.
- Affirmer une limite formelle à partir de quelques valeurs ; en Première, on parle de conjecture ou d'intuition lorsque la preuve dépasse le programme.