Exercices corrigés — Suites numériques (Première)

a) On applique la relation de récurrence de proche en proche : u₁ = 2 × 1 + 3 = 5 ; u₂ = 2 × 5 + 3 = 13 ; u₃ = 2 × 13 + 3 = 29 ; u₄ = 2 × 29 + 3 = 61.
b) Les différences entre termes consécutifs valent 4, 8, 16, 32 : elles ne sont pas constantes, la suite n'est pas arithmétique. Les quotients valent 5, 2,6, 2913 ≈ 2,23, 6129 ≈ 2,10 : ils ne sont pas constants, la suite n'est pas géométrique.
c) Les termes calculés augmentent : on conjecture que la suite est croissante. Pour le justifier, u_n+1 − u_n = 2u_n + 3 − u_n = u_n + 3. Tous les termes sont positifs (u₀ = 1 > 0, et si un terme est positif, le suivant 2u_n + 3 le reste), donc u_n + 3 > 0 : la suite est strictement croissante.
Remarque : les différences 4, 8, 16, 32 doublent à chaque rang, ce qui suggère que u_n + 3 est géométrique de raison 2 ; en effet u_n = 2ⁿ⁺² − 3 (vérification : 2² − 3 = 1, 2³ − 3 = 5).

u₀ = 0 − 0 + 1 = 1 et u₃ = 2 × 9 − 15 + 1 = 18 − 15 + 1 = 4.
Pour les variations, on étudie le signe de u_n+1 − u_n. On a u_n+1 = 2(n + 1)² − 5(n + 1) + 1 = 2n² + 4n + 2 − 5n − 5 + 1 = 2n² − n − 2.
Donc u_n+1 − u_n = (2n² − n − 2) − (2n² − 5n + 1) = 4n − 3.
Pour n ≥ 1, 4n − 3 ≥ 1 > 0 : la suite est strictement croissante à partir du rang 1. Attention, entre les rangs 0 et 1 elle décroît : u₁ = 2 − 5 + 1 = −2 < u₀ = 1, ce qui correspond à 4 × 0 − 3 < 0. D'où la précision « à partir du rang 1 » dans l'énoncé.

a) Pour une suite arithmétique, u_n = u_p + (n − p)r. Donc u₇ = u₃ + 4r, soit 23 = 11 + 4r, d'où 4r = 12 et r = 3. Puis u₀ = u₃ − 3r = 11 − 9 = 2.
b) u_n = u₀ + nr = 2 + 3n. Vérification : u₃ = 2 + 9 = 11 et u₇ = 2 + 21 = 23.
c) La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut (nombre de termes) × premier + dernier2. De u₀ à u₁₄, il y a 15 termes (et non 14 : de 0 à 14 inclus), et u₁₄ = 2 + 42 = 44.
S = 15 × 2 + 442 = 15 × 23 = 345. Contrôle : le terme « du milieu », u₇ = 23, est la moyenne des termes, et 15 × 23 = 345.

le nombre de sièges du rang numéro n + 1 (le premier rang correspondant à n = 0) forme une suite arithmétique de premier terme u₀ = 18 et de raison r = 3, puisqu'on ajoute la même quantité à chaque rang. Donc u_n = 18 + 3n.
Le 20^e rang correspond à n = 19 : u₁₉ = 18 + 3 × 19 = 18 + 57 = 75 sièges.
Le nombre total de sièges est la somme des 20 termes u₀ + u₁ + … + u₁₉ = 20 × premier + dernier2 = 20 × 18 + 752 = 20 × 46,5 = 930.
La salle contient 930 sièges. Vérification par un autre chemin : 20 rangs de 18 sièges donnent 360, auxquels s'ajoutent 3 × (0 + 1 + … + 19) = 3 × 190 = 570 sièges supplémentaires, et 360 + 570 = 930.

a) Pour une suite géométrique, v₅ = v₂ × q³, donc q³ = 9612 = 8. Le seul réel positif dont le cube vaut 8 est q = 2 (la raison est positive car les termes le sont). Puis v₀ = v₂q² = 124 = 3.
b) v_n = v₀ × qⁿ = 3 × 2ⁿ. Vérification : v₂ = 3 × 4 = 12 et v₅ = 3 × 32 = 96.
c) 3 × 2ⁿ > 10 000 équivaut à 2ⁿ > 3 333,3… Les puissances de 2 augmentent : 2¹¹ = 2 048 < 3 333 et 2¹² = 4 096 > 3 333.
Le plus petit entier qui convient est n = 12 : v₁₂ = 3 × 4 096 = 12 288 > 10 000, alors que v₁₁ = 6 144 < 10 000. En Terminale, le logarithme donnera directement n > ln(3 333,3)ln 2 ≈ 11,7.

augmenter de 12 %, c'est multiplier par 1 + 12100 = 1,12. La population P_n après n heures vérifie P_n+1 = 1,12P_n : c'est une suite géométrique de premier terme P₀ = 50 000 et de raison 1,12.
Donc P_n = 50 000 × 1,12ⁿ.
Après 10 heures : P₁₀ = 50 000 × 1,12¹⁰ ≈ 50 000 × 3,1058 ≈ 155 292 bactéries.
La population a été multipliée par environ 3,1 en 10 heures, et non par 2,2 comme le suggérerait une addition de 10 fois 12 % : les pourcentages successifs se composent en se multipliant. Chaque heure, l'augmentation porte sur une population plus grande.

les versements mensuels forment une suite géométrique de premier terme 100 et de raison 1,02 (augmenter de 2 %, c'est multiplier par 1,02). Le versement du mois n + 1 vaut 100 × 1,02ⁿ, avec n de 0 à 11 pour les 12 premiers mois.
La somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 vaut premier terme × 1 − q^{nombre de termes}1 − q. Ici : S = 100 × 1 − 1,02¹²1 − 1,02.
Comme 1 − 1,02 = −0,02, on écrit plutôt S = 100 × 1,02¹² − 10,02. Or 1,02¹² ≈ 1,26824, donc S ≈ 100 × 0,268240,02 ≈ 1 341,21 €.
Le total versé en un an est d'environ 1 341 €, contre 1 200 € si les versements étaient restés fixes : les 2 % mensuels ajoutent environ 141 €.

la quantité u_n après n heures vérifie u_n+1 = 0,75u_n : suite géométrique de premier terme u₀ = 80 et de raison 0,75, donc u_n = 80 × 0,75ⁿ.
Algorithme : on initialise n à 0 et u à 80 ; tant que u ≥ 5, on remplace u par 0,75 × u et on augmente n de 1 ; à la sortie de la boucle, on affiche n. En Python : n = 0 ; u = 80 ; while u >= 5: u = 0.75 * u ; n = n + 1, puis print(n).
La boucle s'arrête car 0,75ⁿ devient aussi petit que l'on veut. Déroulement : u₈ = 80 × 0,75⁸ ≈ 8,01 ; u₉ ≈ 6,01 ; u₁₀ ≈ 4,51.
Le premier rang pour lequel la quantité est strictement inférieure à 5 mg est n = 10 : la quantité passe sous 5 mg au bout de 10 heures. Attention au test : c'est « tant que u ≥ 5 » qui permet de s'arrêter au premier rang où u < 5.