Exercices corrigés — Suites numériques (Première)

les versements mensuels forment une suite géométrique de premier terme 100 et de raison 1,02 (augmenter de 2 %, c'est multiplier par 1,02). Le versement du mois n + 1 vaut 100 × 1,02ⁿ, avec n de 0 à 11 pour les 12 premiers mois.
La somme de n termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 vaut premier terme × 1 − q^{nombre de termes}1 − q. Ici : S = 100 × 1 − 1,02¹²1 − 1,02.
Comme 1 − 1,02 = −0,02, on écrit plutôt S = 100 × 1,02¹² − 10,02. Or 1,02¹² ≈ 1,26824, donc S ≈ 100 × 0,268240,02 ≈ 1 341,21 €.
Le total versé en un an est d'environ 1 341 €, contre 1 200 € si les versements étaient restés fixes : les 2 % mensuels ajoutent environ 141 €.

la quantité u_n après n heures vérifie u_n+1 = 0,75u_n : suite géométrique de premier terme u₀ = 80 et de raison 0,75, donc u_n = 80 × 0,75ⁿ.
Algorithme : on initialise n à 0 et u à 80 ; tant que u ≥ 5, on remplace u par 0,75 × u et on augmente n de 1 ; à la sortie de la boucle, on affiche n. En Python : n = 0 ; u = 80 ; while u >= 5: u = 0.75 * u ; n = n + 1, puis print(n).
La boucle s'arrête car 0,75ⁿ devient aussi petit que l'on veut. Déroulement : u₈ = 80 × 0,75⁸ ≈ 8,01 ; u₉ ≈ 6,01 ; u₁₀ ≈ 4,51.
Le premier rang pour lequel la quantité est strictement inférieure à 5 mg est n = 10 : la quantité passe sous 5 mg au bout de 10 heures. Attention au test : c'est « tant que u ≥ 5 » qui permet de s'arrêter au premier rang où u < 5.