Exercices corrigés — Probabilités conditionnelles et indépendance (Première)

pour tester l'indépendance, il faut connaître P(A ∩ B). La formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) donne P(A ∩ B) = 0,4 + 0,5 − 0,7 = 0,2.
Par ailleurs P(A) × P(B) = 0,4 × 0,5 = 0,2.
Comme P(A ∩ B) = P(A) × P(B), les événements A et B sont indépendants. On peut aussi le formuler avec une probabilité conditionnelle : P_A(B) = 0,20,4 = 0,5 = P(B), savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B.
Rappel : indépendants ne signifie pas incompatibles. Ici P(A ∩ B) = 0,2 ≠ 0 ; deux événements de probabilités non nulles ne peuvent d'ailleurs pas être à la fois incompatibles et indépendants.

le dé est équilibré : chaque face a la probabilité 16. A = {2 ; 4 ; 6}, P(A) = 36 = 12 ; B = {4 ; 5 ; 6}, P(B) = 12 ; C = {3 ; 6}, P(C) = 26 = 13.
a) A ∩ C = {6}, donc P(A ∩ C) = 16. Or P(A) × P(C) = 12 × 13 = 16. L'égalité est vérifiée : A et C sont indépendants. Interprétation : parmi les résultats pairs, un sur trois (le 6) est multiple de 3, exactement comme dans l'ensemble des six faces.
b) A ∩ B = {4 ; 6}, donc P(A ∩ B) = 26 = 13, alors que P(A) × P(B) = 12 × 12 = 14. Comme 13 ≠ 14, A et B ne sont pas indépendants : P_A(B) = (13)/(12) = 23 > P(B) = 12, savoir que le résultat est pair augmente la probabilité qu'il soit au moins 4.
L'indépendance se vérifie par le calcul, jamais par intuition : deux événements définis sur la même expérience peuvent être indépendants (a) ou non (b).