Exercices corrigés — Probabilités conditionnelles et indépendance (Première)

notons E « l'élève apprend l'espagnol » et I « l'élève joue d'un instrument ». Le choix au hasard donne P(E) = 1830 et P(E ∩ I) = 1230.
Par définition, P_E(I) = PE ∩ IP(E) = (1230)/(1830) = 1218 = 23.
Interprétation : on se restreint aux 18 élèves qui apprennent l'espagnol ; parmi eux, 12 jouent d'un instrument, soit une proportion de 1218 = 23. La probabilité conditionnelle est un quotient d'effectifs dans la population réduite.
Attention à ne pas confondre avec P_I(E), qui demanderait le nombre total d'élèves jouant d'un instrument, information absente de l'énoncé.

a) Filles internes : 70 ; filles externes : 280 − 70 = 210 ; garçons : 500 − 280 = 220 ; garçons internes : 120 − 70 = 50 ; garçons externes : 220 − 50 = 170. Total des externes : 500 − 120 = 380.

les données sont P(M) = 0,02, donc P(M) = 0,98 ; P_M(T) = 0,98 (sensibilité) ; P_M(T) = 0,03 (faux positifs). On les place sur un arbre : premier niveau M / M, second niveau T / T.
Les événements M et M forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales : P(T) = P(M ∩ T) + P(M ∩ T) = P(M) × P_M(T) + P(M) × P_M(T).
P(T) = 0,02 × 0,98 + 0,98 × 0,03 = 0,0196 + 0,0294 = 0,049.
Le test est positif dans 4,9 % des cas. Remarque : parmi ces tests positifs, la part des vrais malades est P_T(M) = 0,01960,049 = 0,4 : quand la maladie est rare, un test positif n'est pas une certitude, il y a ici plus de faux positifs (2,94 %) que de vrais positifs (1,96 %).

a) Premier niveau : F₁ avec 0,6 et F₂ avec 0,4. Second niveau, depuis F₁ : D avec 0,03 et D avec 0,97 ; depuis F₂ : D avec 0,08 et D avec 0,92. À chaque nœud, les probabilités des branches se somment à 1.
b) F₁ et F₂ forment une partition. Formule des probabilités totales : P(D) = P(F₁) × P_F1(D) + P(F₂) × P_F2(D) = 0,6 × 0,03 + 0,4 × 0,08 = 0,018 + 0,032 = 0,05. Une ampoule sur vingt est défectueuse.
c) On cherche P_D(F₂), probabilité « à rebours » de l'arbre : P_D(F₂) = PF₂ ∩ DP(D) = 0,0320,05 = 0,64.
Interprétation : F₂ ne fournit que 40 % des ampoules, mais 64 % des ampoules défectueuses viennent de lui, car son taux de défaut est plus élevé. La formule du produit P(F₂ ∩ D) = P(F₂) × P_F2(D) permet de renverser le conditionnement.

pour tester l'indépendance, il faut connaître P(A ∩ B). La formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) donne P(A ∩ B) = 0,4 + 0,5 − 0,7 = 0,2.
Par ailleurs P(A) × P(B) = 0,4 × 0,5 = 0,2.
Comme P(A ∩ B) = P(A) × P(B), les événements A et B sont indépendants. On peut aussi le formuler avec une probabilité conditionnelle : P_A(B) = 0,20,4 = 0,5 = P(B), savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B.
Rappel : indépendants ne signifie pas incompatibles. Ici P(A ∩ B) = 0,2 ≠ 0 ; deux événements de probabilités non nulles ne peuvent d'ailleurs pas être à la fois incompatibles et indépendants.

le dé est équilibré : chaque face a la probabilité 16. A = {2 ; 4 ; 6}, P(A) = 36 = 12 ; B = {4 ; 5 ; 6}, P(B) = 12 ; C = {3 ; 6}, P(C) = 26 = 13.
a) A ∩ C = {6}, donc P(A ∩ C) = 16. Or P(A) × P(C) = 12 × 13 = 16. L'égalité est vérifiée : A et C sont indépendants. Interprétation : parmi les résultats pairs, un sur trois (le 6) est multiple de 3, exactement comme dans l'ensemble des six faces.
b) A ∩ B = {4 ; 6}, donc P(A ∩ B) = 26 = 13, alors que P(A) × P(B) = 12 × 12 = 14. Comme 13 ≠ 14, A et B ne sont pas indépendants : P_A(B) = (13)/(12) = 23 > P(B) = 12, savoir que le résultat est pair augmente la probabilité qu'il soit au moins 4.
L'indépendance se vérifie par le calcul, jamais par intuition : deux événements définis sur la même expérience peuvent être indépendants (a) ou non (b).

chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,6 (succès : pile). Les quatre lancers indépendants se représentent par un arbre à quatre niveaux et 2⁴ = 16 chemins.
Les chemins comportant exactement trois piles sont ceux où la face unique occupe l'une des quatre positions : PPPF, PPFP, PFPP et FPPP, soit quatre chemins.
Par indépendance, chaque chemin a pour probabilité 0,6³ × 0,4 = 0,216 × 0,4 = 0,0864 : l'ordre des résultats ne change pas le produit.
Les quatre chemins sont incompatibles ; on additionne : 4 × 0,0864 = 0,3456. La probabilité d'obtenir exactement trois piles est 0,3456, soit environ 35 %. En Terminale, le nombre de chemins sera donné par le coefficient binomial C(4,3) = 4.

« au moins un capteur détecte » a pour événement contraire « aucun capteur ne détecte », plus simple à calculer.
Chaque capteur ne détecte pas avec probabilité 1 − 0,9 = 0,1. Les trois capteurs sont indépendants, donc la probabilité qu'aucun ne détecte est 0,1 × 0,1 × 0,1 = 0,1³ = 0,001.
La probabilité cherchée est 1 − 0,001 = 0,999.
Interprétation : un seul capteur laisse passer une intrusion sur dix ; trois capteurs indépendants n'en laissent passer qu'une sur mille. La redondance multiplie les petites probabilités d'échec, ce qui les rend très petites. Calculer directement « au moins un » demanderait d'additionner les cas un, deux ou trois capteurs actifs : passer par le contraire évite ce découpage.