Exercices corrigés — Probabilités conditionnelles et indépendance (Première)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Application ». Voir les 8 exercices.

Exercice 3 Application

Un test détecte une maladie chez 98 % des personnes malades et se révèle positif chez 3 % des personnes saines. La maladie touche 2 % de la population. On choisit une personne au hasard et on note M « la personne est malade » et T « le test est positif ». Calculer la probabilité que le test soit positif.

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Correction détaillée

les données sont P(M) = 0,02, donc P(M) = 0,98 ; P_M(T) = 0,98 (sensibilité) ; P_M(T) = 0,03 (faux positifs). On les place sur un arbre : premier niveau M / M, second niveau T / T.
Les événements M et M forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales : P(T) = P(M ∩ T) + P(M ∩ T) = P(M) × P_M(T) + P(M) × P_M(T).
P(T) = 0,02 × 0,98 + 0,98 × 0,03 = 0,0196 + 0,0294 = 0,049.
Le test est positif dans 4,9 % des cas. Remarque : parmi ces tests positifs, la part des vrais malades est P_T(M) = 0,01960,049 = 0,4 : quand la maladie est rare, un test positif n'est pas une certitude, il y a ici plus de faux positifs (2,94 %) que de vrais positifs (1,96 %).

Exercice 4 Application

Un magasin vend des ampoules provenant de deux fournisseurs : 60 % viennent du fournisseur F₁, dont 3 % sont défectueuses, et 40 % du fournisseur F₂, dont 8 % sont défectueuses. On choisit une ampoule au hasard et on note D « l'ampoule est défectueuse ». a) Représenter la situation par un arbre pondéré. b) Calculer P(D). c) L'ampoule choisie est défectueuse : quelle est la probabilité qu'elle provienne de F₂ ?

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Correction détaillée

a) Premier niveau : F₁ avec 0,6 et F₂ avec 0,4. Second niveau, depuis F₁ : D avec 0,03 et D avec 0,97 ; depuis F₂ : D avec 0,08 et D avec 0,92. À chaque nœud, les probabilités des branches se somment à 1.
b) F₁ et F₂ forment une partition. Formule des probabilités totales : P(D) = P(F₁) × P_F₁(D) + P(F₂) × P_F₂(D) = 0,6 × 0,03 + 0,4 × 0,08 = 0,018 + 0,032 = 0,05. Une ampoule sur vingt est défectueuse.
c) On cherche P_D(F₂), probabilité « à rebours » de l'arbre : P_D(F₂) = PF₂ ∩ DP(D) = 0,0320,05 = 0,64.
Interprétation : F₂ ne fournit que 40 % des ampoules, mais 64 % des ampoules défectueuses viennent de lui, car son taux de défaut est plus élevé. La formule du produit P(F₂ ∩ D) = P(F₂) × P_F₂(D) permet de renverser le conditionnement.

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