Probabilités conditionnelles et indépendance — fiche résumé
L'essentiel du chapitre en une page : 13 points à retenir et 3 méthodes. À relire avant un contrôle, ou à imprimer.
À retenir
1. Rappels sur les événements
Vocabulaire
L'univers Ω est l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire. Un événement A est une partie de Ω. A ∩ B signifie « A et B », A ∪ B signifie « A ou B ». L'événement contraire de A est noté Ā.
Formules de base
P(Ā) = 1 − P(A),
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Si A et B sont incompatibles, A ∩ B = ∅ et P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
2. Probabilité conditionnelle
Définition
Si P(A) ≠ 0, la probabilité de B sachant A est
PA(B) = P(B | A) = P(A ∩ B)P(A).
On se place dans la population réduite aux cas où A est réalisé.
Formule du produit
P(A ∩ B) = P(A)PA(B).
Si P(B) ≠ 0, on a aussi P(A ∩ B) = P(B)PB(A).
3. Arbres pondérés
Règles
- À chaque nœud, la somme des probabilités des branches issues de ce nœud vaut 1.
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches.
- La probabilité d'un événement formé de plusieurs chemins incompatibles est la somme de leurs probabilités.
4. Formule des probabilités totales
Partition
Des événements A1, ..., Ak forment une partition de Ω s'ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est Ω. La définition retenue ici (événements deux à deux incompatibles de réunion Ω) n'exclut pas une partie vide ou de probabilité nulle ; on parle alors plutôt de système complet d'événements. En revanche, pour employer les probabilités conditionnelles PAi(B), on suppose P(Ai) > 0 pour tout i.
Formule
Si A1, ..., Ak forment une partition, alors pour tout événement B, la première égalité est toujours valable. Sous l'hypothèse supplémentaire P(Ai) > 0 pour chaque i, on peut écrire la seconde avec les probabilités conditionnelles :
P(B) = P(A1 ∩ B) + ··· + P(Ak ∩ B)
= P(A1)PA1(B) + ··· + P(Ak)PAk(B).
Démonstration
Les événements A1 ∩ B, ..., Ak ∩ B sont incompatibles et leur réunion est B. On additionne donc leurs probabilités, puis on applique à chacun la formule du produit.
5. Indépendance
Définition
Deux événements A et B sont indépendants si
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Si P(A) ≠ 0, cela équivaut à PA(B) = P(B) : savoir que A est réalisé ne modifie pas la probabilité de B.
Événements contraires
Si A et B sont indépendants, alors A et B̄, Ā et B, Ā et B̄ sont aussi indépendants.
Démonstration pour A et B̄ : P(A ∩ B̄) = P(A) − P(A ∩ B) = P(A) − P(A)P(B) = P(A)[1 − P(B)] = P(A)P(B̄).
6. Épreuve de Bernoulli
Définition
Une épreuve de Bernoulli possède deux issues : succès S de probabilité p, et échec S̄ de probabilité 1 − p. Répéter l'épreuve dans les mêmes conditions de manière indépendante donne un schéma de Bernoulli.
Répétitions au programme de Première
Pour un nombre d'essais n ≤ 4, on représente les répétitions par un arbre et on additionne les chemins favorables. Chaque chemin contenant k succès et n − k échecs a pour probabilité pk(1 − p)n−k. La loi binomiale générale et ses coefficients seront étudiés en Terminale.
7. Fréquences et expérimentation
Stabilisation
Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience dans les mêmes conditions, la fréquence observée d'un événement tend à se stabiliser autour de sa probabilité. Une simulation ne démontre pas une valeur exacte, mais elle permet de conjecturer, de contrôler un calcul et d'étudier la fluctuation d'échantillonnage.
Les méthodes
Ce qu'il faut savoir faire, et dans quel ordre.
Méthode 1Ne pas confondre
Des événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble : P(A ∩ B) = 0. Des événements indépendants ne s'influencent pas : P(A ∩ B) = P(A)P(B). Deux événements de probabilités non nulles ne peuvent pas être à la fois incompatibles et indépendants.
Méthode 2Protocole
- Définir précisément l'expérience et l'événement observé.
- Simuler un échantillon de taille n et calculer sa fréquence.
- Répéter la fabrication d'échantillons pour observer la dispersion des fréquences.
- Comparer les résultats à la probabilité théorique lorsque celle-ci est connue.
Méthode 3À éviter
- Confondre PA(B) et PB(A).
- Additionner le long d'un chemin ou multiplier des chemins différents : on multiplie sur un chemin, on additionne les chemins.
- Appliquer P(A ∩ B) = P(A)P(B) sans avoir établi l'indépendance.
- Confondre indépendance des essais et équiprobabilité des issues.
- Oublier qu'une probabilité conditionnelle change l'univers de référence.
- Utiliser une simulation comme preuve d'une probabilité exacte.
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