Probabilités conditionnelles et indépendance — cours de Première
Rappels sur les événements, Probabilité conditionnelle, Arbres pondérés, Formule des probabilités totales Lecture ≈ 6 min.
1. Rappels sur les événements
L'univers Ω est l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire. Un événement A est une partie de Ω. A ∩ B signifie « A et B », A ∪ B signifie « A ou B ». L'événement contraire de A est noté Ā.
P(Ā) = 1 − P(A),
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Si A et B sont incompatibles, A ∩ B = ∅ et P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
2. Probabilité conditionnelle
Si P(A) ≠ 0, la probabilité de B sachant A est
PA(B) = P(B | A) = P(A ∩ B)P(A).
On se place dans la population réduite aux cas où A est réalisé.
P(A ∩ B) = P(A)PA(B).
Si P(B) ≠ 0, on a aussi P(A ∩ B) = P(B)PB(A).
Dans un lycée, 60 % des élèves pratiquent un sport S et 24 % pratiquent à la fois un sport et la musique M. Parmi les sportifs, la probabilité de pratiquer la musique est PS(M) = P(S ∩ M)P(S) = 0,240,60 = 0,40.
3. Arbres pondérés
- À chaque nœud, la somme des probabilités des branches issues de ce nœud vaut 1.
- La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches.
- La probabilité d'un événement formé de plusieurs chemins incompatibles est la somme de leurs probabilités.
Le premier niveau sépare A et Ā. Depuis chacune de ces branches, le second niveau sépare B et B̄. Les quatre feuilles, incompatibles et de réunion Ω, sont :
| Chemin | Probabilité du chemin |
|---|---|
| A puis B : A ∩ B | P(A)PA(B) |
| A puis B̄ : A ∩ B̄ | P(A)[1 − PA(B)] |
| Ā puis B : Ā ∩ B | P(Ā)PĀ(B) |
| Ā puis B̄ : Ā ∩ B̄ | P(Ā)[1 − PĀ(B)] |
La somme des quatre probabilités vaut 1. La somme des deux lignes contenant B donne P(B) : c'est la formule des probabilités totales pour la partition {A ; Ā}.
Une usine utilise deux machines A et B. A fabrique 70 % des pièces et 2 % de ses pièces sont défectueuses. B fabrique 30 % des pièces et 5 % sont défectueuses. On note D « la pièce est défectueuse ».
- P(A) = 0,70, P(B) = 0,30, PA(D) = 0,02, PB(D) = 0,05.
- P(A ∩ D) = 0,70 × 0,02 = 0,014.
- P(B ∩ D) = 0,30 × 0,05 = 0,015.
- Les événements A et B forment une partition : P(D) = 0,014 + 0,015 = 0,029.
- Sachant que la pièce est défectueuse, PD(B) = P(B ∩ D)P(D) = 0,0150,029 ≈ 0,517.
4. Formule des probabilités totales
Des événements A1, ..., Ak forment une partition de Ω s'ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est Ω. La définition retenue ici (événements deux à deux incompatibles de réunion Ω) n'exclut pas une partie vide ou de probabilité nulle ; on parle alors plutôt de système complet d'événements. En revanche, pour employer les probabilités conditionnelles PAi(B), on suppose P(Ai) > 0 pour tout i.
Si A1, ..., Ak forment une partition, alors pour tout événement B, la première égalité est toujours valable. Sous l'hypothèse supplémentaire P(Ai) > 0 pour chaque i, on peut écrire la seconde avec les probabilités conditionnelles :
P(B) = P(A1 ∩ B) + ··· + P(Ak ∩ B)
= P(A1)PA1(B) + ··· + P(Ak)PAk(B).
Les événements A1 ∩ B, ..., Ak ∩ B sont incompatibles et leur réunion est B. On additionne donc leurs probabilités, puis on applique à chacun la formule du produit.
5. Indépendance
Deux événements A et B sont indépendants si
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Si P(A) ≠ 0, cela équivaut à PA(B) = P(B) : savoir que A est réalisé ne modifie pas la probabilité de B.
Si A et B sont indépendants, alors A et B̄, Ā et B, Ā et B̄ sont aussi indépendants.
Démonstration pour A et B̄ : P(A ∩ B̄) = P(A) − P(A ∩ B) = P(A) − P(A)P(B) = P(A)[1 − P(B)] = P(A)P(B̄).
On lance un dé équilibré. A = « résultat pair », B = « résultat supérieur ou égal à 4 ». P(A) = 12, P(B) = 12 et A ∩ B = {4 ; 6}, donc P(A ∩ B) = 13. Comme 13 ≠ 14, A et B ne sont pas indépendants.
Des événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble : P(A ∩ B) = 0. Des événements indépendants ne s'influencent pas : P(A ∩ B) = P(A)P(B). Deux événements de probabilités non nulles ne peuvent pas être à la fois incompatibles et indépendants.
6. Épreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli possède deux issues : succès S de probabilité p, et échec S̄ de probabilité 1 − p. Répéter l'épreuve dans les mêmes conditions de manière indépendante donne un schéma de Bernoulli.
Pour un nombre d'essais n ≤ 4, on représente les répétitions par un arbre et on additionne les chemins favorables. Chaque chemin contenant k succès et n − k échecs a pour probabilité pk(1 − p)n−k. La loi binomiale générale et ses coefficients seront étudiés en Terminale.
Pour deux épreuves indépendantes de paramètre p, chaque premier résultat S ou E est suivi des deux mêmes branches S de poids p et E de poids 1 − p. Les quatre feuilles sont :
| Issue | SS | SE | ES | EE |
|---|---|---|---|---|
| Probabilité | p2 | p(1 − p) | (1 − p)p | (1 − p)2 |
Exactement un succès correspond à SE ou ES, donc a pour probabilité 2p(1 − p). Pour trois ou quatre essais, on construit de même l'arbre complet ; au-delà de n = 4, le dénombrement général relève de la loi binomiale de Terminale.
Un joueur réussit chaque tir avec probabilité 0,7, indépendamment des autres. Il tire trois fois. Calculer la probabilité d'exactement deux succès.
- Trois chemins conviennent : SSE, SES et ESS.
- Chaque chemin a pour probabilité 0,72 × 0,3 = 0,147.
- Les chemins sont incompatibles, donc la probabilité cherchée vaut 3 × 0,147 = 0,441.
Sur quatre essais indépendants de probabilité de succès 0,2, la probabilité d'au moins un succès se calcule par l'événement contraire : 1 − P(aucun succès) = 1 − 0,84 = 0,5904.
7. Fréquences et expérimentation
Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience dans les mêmes conditions, la fréquence observée d'un événement tend à se stabiliser autour de sa probabilité. Une simulation ne démontre pas une valeur exacte, mais elle permet de conjecturer, de contrôler un calcul et d'étudier la fluctuation d'échantillonnage.
- Définir précisément l'expérience et l'événement observé.
- Simuler un échantillon de taille n et calculer sa fréquence.
- Répéter la fabrication d'échantillons pour observer la dispersion des fréquences.
- Comparer les résultats à la probabilité théorique lorsque celle-ci est connue.
8. Erreurs fréquentes
- Confondre PA(B) et PB(A).
- Additionner le long d'un chemin ou multiplier des chemins différents : on multiplie sur un chemin, on additionne les chemins.
- Appliquer P(A ∩ B) = P(A)P(B) sans avoir établi l'indépendance.
- Confondre indépendance des essais et équiprobabilité des issues.
- Oublier qu'une probabilité conditionnelle change l'univers de référence.
- Utiliser une simulation comme preuve d'une probabilité exacte.