Exercices corrigés — Probabilités conditionnelles et indépendance (Première)

chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,6 (succès : pile). Les quatre lancers indépendants se représentent par un arbre à quatre niveaux et 2⁴ = 16 chemins.
Les chemins comportant exactement trois piles sont ceux où la face unique occupe l'une des quatre positions : PPPF, PPFP, PFPP et FPPP, soit quatre chemins.
Par indépendance, chaque chemin a pour probabilité 0,6³ × 0,4 = 0,216 × 0,4 = 0,0864 : l'ordre des résultats ne change pas le produit.
Les quatre chemins sont incompatibles ; on additionne : 4 × 0,0864 = 0,3456. La probabilité d'obtenir exactement trois piles est 0,3456, soit environ 35 %. En Terminale, le nombre de chemins sera donné par le coefficient binomial C(4,3) = 4.

« au moins un capteur détecte » a pour événement contraire « aucun capteur ne détecte », plus simple à calculer.
Chaque capteur ne détecte pas avec probabilité 1 − 0,9 = 0,1. Les trois capteurs sont indépendants, donc la probabilité qu'aucun ne détecte est 0,1 × 0,1 × 0,1 = 0,1³ = 0,001.
La probabilité cherchée est 1 − 0,001 = 0,999.
Interprétation : un seul capteur laisse passer une intrusion sur dix ; trois capteurs indépendants n'en laissent passer qu'une sur mille. La redondance multiplie les petites probabilités d'échec, ce qui les rend très petites. Calculer directement « au moins un » demanderait d'additionner les cas un, deux ou trois capteurs actifs : passer par le contraire évite ce découpage.