Exercices corrigés — Probabilités conditionnelles et indépendance (Première)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Découverte ». Voir les 8 exercices.

Exercice 1 Découverte

Dans une classe, 18 élèves sur 30 apprennent l'espagnol, et 12 élèves apprennent l'espagnol et jouent d'un instrument. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il joue d'un instrument sachant qu'il apprend l'espagnol ?

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Correction détaillée

notons E « l'élève apprend l'espagnol » et I « l'élève joue d'un instrument ». Le choix au hasard donne P(E) = 1830 et P(E ∩ I) = 1230.
Par définition, P_E(I) = PE ∩ IP(E) = (1230)/(1830) = 1218 = 23.
Interprétation : on se restreint aux 18 élèves qui apprennent l'espagnol ; parmi eux, 12 jouent d'un instrument, soit une proportion de 1218 = 23. La probabilité conditionnelle est un quotient d'effectifs dans la population réduite.
Attention à ne pas confondre avec P_I(E), qui demanderait le nombre total d'élèves jouant d'un instrument, information absente de l'énoncé.

Exercice 2 Découverte

Dans un lycée de 500 élèves, 280 sont des filles. 120 élèves sont internes, dont 70 filles. On choisit un élève au hasard ; on note F « l'élève est une fille » et I « l'élève est interne ». a) Compléter un tableau d'effectifs croisant filles/garçons et internes/externes. b) Calculer P(F), P(I) et P(F ∩ I). c) Calculer P_F(I) et P_I(F). d) Les événements F et I sont-ils indépendants ?

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Correction détaillée

a) Filles internes : 70 ; filles externes : 280 − 70 = 210 ; garçons : 500 − 280 = 220 ; garçons internes : 120 − 70 = 50 ; garçons externes : 220 − 50 = 170. Total des externes : 500 − 120 = 380.

	Internes	Externes	Total
Filles	70	210	280
Garçons	50	170	220
Total	120	380	500

b) P(F) = 280500 = 0,56 ; P(I) = 120500 = 0,24 ; P(F ∩ I) = 70500 = 0,14.
c) P_F(I) = 70280 = 0,25 : parmi les filles, un quart sont internes. P_I(F) = 70120 ≈ 0,583 : parmi les internes, environ 58 % sont des filles. Les deux nombres ont le même numérateur mais pas la même population de référence.
d) P(F) × P(I) = 0,56 × 0,24 = 0,1344, alors que P(F ∩ I) = 0,14. Les deux valeurs sont différentes : F et I ne sont pas indépendants. On le voit aussi avec P_F(I) = 0,25 ≠ P(I) = 0,24 : être une fille modifie légèrement la probabilité d'être interne.

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