Exercices corrigés — Polynômes du second degré (Première)

Quatre niveaux de difficulté, du plus simple au plus exigeant. Chaque exercice a sa correction détaillée, étape par étape.

2 exercices de niveau « Maîtrise ». Voir les 8 exercices.

Exercice 5 Maîtrise

Résoudre dans ℝ l'inéquation −x² + 5x − 6 > 0.

Voir la correction

Correction détaillée

on étudie le signe du trinôme x ↦ −x² + 5x − 6, avec a = −1, b = 5, c = −6. Δ = 25 − 4 × (−1) × (−6) = 25 − 24 = 1 > 0.
Racines : x₁ = −5 − 12 × (−1) = −6−2 = 3 et x₂ = −5 + 1−2 = 2. On les range : 2 < 3.
Règle du signe : un trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé entre elles. Ici a = −1 < 0, donc le trinôme est négatif sur ]−∞ ; 2[ et sur ]3 ; +∞[, nul en 2 et en 3, et positif sur ]2 ; 3[.

x	−∞		2		3		+∞
signe		−	0	+	0	−

L'inégalité est stricte, les racines sont exclues : l'ensemble des solutions est ]2 ; 3[. Vérification avec x = 2,5 : −6,25 + 12,5 − 6 = 0,25 > 0.

Exercice 6 Maîtrise

a) Vérifier que 4 est racine du trinôme 2x² − 5x − 12 et déterminer l'autre racine sans calculer le discriminant. b) Déterminer deux nombres réels dont la somme vaut 7 et le produit 10.

Voir la correction

Correction détaillée

a) 2 × 4² − 5 × 4 − 12 = 32 − 20 − 12 = 0 : 4 est bien racine. Le produit des deux racines vaut ca = −122 = −6, donc l'autre racine est −64 = −32.
Contrôle avec la somme : 4 + (−32) = 52, et −ba = 52. Le trinôme se factorise en 2(x − 4)(x + 32) = (x − 4)(2x + 3).
b) Deux nombres de somme S = 7 et de produit P = 10 sont les racines de l'équation x² − Sx + P = 0, soit x² − 7x + 10 = 0 (car x₁ + x₂ = −ba et x₁x₂ = ca avec a = 1).
Δ = 49 − 40 = 9, √Δ = 3, d'où les racines 7 − 32 = 2 et 7 + 32 = 5. Les deux nombres sont 2 et 5 : 2 + 5 = 7 et 2 × 5 = 10.

Revoir le cours Fiche résumé Passer le quiz